このページは、「偏差を用いた分散・標準偏差」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
偏差を用いた分散・標準偏差 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(10\) 人の生徒に計算テストを行った結果である。このデータの分散 \(s^2\) 、標準偏差 \(s\) を求めよ。
\(6~~10~~7~~7~~5~~4~~9~~10~~5~~7\) （点）
\(6~~10~~7~~7~~5~~4~~9~~10~~5~~7\) （点）
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.188 練習11
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この \(10\) 個のデータの平均値 \(\overline{x}\) は、
\(10\) 個のデータの偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
6 & -1 & (-1)^2=1
\\10 & +3 & 3^2=9
\\7 & 0 & 0
\\7 & 0 & 0
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\4 & -3 & (-3)^2=9
\\9 & +2 & 2^2=4
\\10 & +3 & 3^2=9
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\7 & 0 & 0
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(s=\sqrt{\,4\,}=2\)
したがって、分散 \(4\) 、標準偏差 \(2\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,6+10+7+7+5+4+9+10+5+7\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(10\) 個のデータの偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
6 & -1 & (-1)^2=1
\\10 & +3 & 3^2=9
\\7 & 0 & 0
\\7 & 0 & 0
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\4 & -3 & (-3)^2=9
\\9 & +2 & 2^2=4
\\10 & +3 & 3^2=9
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\7 & 0 & 0
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~s^2&=&\displaystyle \frac{\,1+9+0+0+4+9+4+9+4+0\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(s=\sqrt{\,4\,}=2\)
したがって、分散 \(4\) 、標準偏差 \(2\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の得点データの分散、標準偏差を求めよ。
\(6~~10~~7~~7~~5~~4~~9~~10~~5~~7\) （点）
\(6~~10~~7~~7~~5~~4~~9~~10~~5~~7\) （点）
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.181 練習10
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.184 練習10
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この \(10\) 個のデータの平均値 \(\overline{x}\) は、
\(10\) 個のデータの偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
6 & -1 & (-1)^2=1
\\10 & +3 & 3^2=9
\\7 & 0 & 0
\\7 & 0 & 0
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\4 & -3 & (-3)^2=9
\\9 & +2 & 2^2=4
\\10 & +3 & 3^2=9
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\7 & 0 & 0
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(4\) 、標準偏差 \(2\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,6+10+7+7+5+4+9+10+5+7\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(10\) 個のデータの偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
6 & -1 & (-1)^2=1
\\10 & +3 & 3^2=9
\\7 & 0 & 0
\\7 & 0 & 0
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\4 & -3 & (-3)^2=9
\\9 & +2 & 2^2=4
\\10 & +3 & 3^2=9
\\5 & -2 & (-2)^2=4
\\7 & 0 & 0
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~s^2&=&\displaystyle \frac{\,1+9+0+0+4+9+4+9+4+0\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(4\) 、標準偏差 \(2\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\({\rm B}\) 社の音楽プレイヤーの連続使用時間の標準偏差を、四捨五入して小数第 \(2\) 位まで求めよ。ただし、\(\sqrt{\,2\,}=1.414\) とする。
\(27~~28~~25~~21~~29\) （単位 時間）
\(27~~28~~25~~21~~29\) （単位 時間）
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.181 問13
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この \(5\) つのデータの平均値 \(\overline{x}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,27+28+25+21+29\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,130\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&26\end{eqnarray}\)
\(5\) つのデータの偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
27 & +1 & 1^2=1
\\28 & +2 & 2^2=4
\\25 & -1 & (-1)^2=1
\\21 & -5 & (-5)^2=25
\\29 & +3 & 3^2=9
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,1+4+1+25+9\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&2 {\, \small \times \,} 1.414
\\[3pt]~~~&=&2.828
\\[3pt]~~~&{\small ~≒~}&2.83\end{eqnarray}\)
したがって、標準偏差 \(2.83\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,27+28+25+21+29\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,130\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&26\end{eqnarray}\)
\(5\) つのデータの偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
27 & +1 & 1^2=1
\\28 & +2 & 2^2=4
\\25 & -1 & (-1)^2=1
\\21 & -5 & (-5)^2=25
\\29 & +3 & 3^2=9
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,1+4+1+25+9\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&2 {\, \small \times \,} 1.414
\\[3pt]~~~&=&2.828
\\[3pt]~~~&{\small ~≒~}&2.83\end{eqnarray}\)
したがって、標準偏差 \(2.83\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の度数分布表は、バスケットボール部における \({\rm B}\) さんの \(10\) 日分のフリースローの得点である。\({\rm B}\) さんの \(1\) 日分の得点は、\({\rm A}\) さんと比べて散らばりの大きさが小さいといえるだろうか。標準偏差を利用して考えよ。ただし、\({\rm A}\) さんの標準偏差は \(1.73\,(点)\) とする。
\(\begin{array}{c|c}
x \,(点) & 度数\,f
\\\hline
0 & 0
\\1 & 0
\\2 & 4
\\3 & 3
\\4 & 2
\\5 & 1
\\\hline
計 & 10
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|c}
x \,(点) & 度数\,f
\\\hline
0 & 0
\\1 & 0
\\2 & 4
\\3 & 3
\\4 & 2
\\5 & 1
\\\hline
計 & 10
\end{array}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.182 問14
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.178 問10
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\({\rm B}\) さんの得点の平均値 \(\overline{x}\) は、
さらに、\(x-\overline{x}~,~(x-\overline{x})^2~,~(x-\overline{x})^2f\) の値は、次の表のようになる。
よって、得点の分散 \(s^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~s^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}(0+0+4+0+2+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
標準偏差 \(s\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\sqrt{\,1\,}
\\[3pt]~~~&=&1 \,(点)\end{eqnarray}\)
ここで、\({\rm A}\) さんの標準偏差は \(\sqrt{\,3\,}=1.73\,(点)\) であり、
\(1 \lt \sqrt{\,3\,}\) より、\({\rm B}\) さんの標準偏差の方が小さい。
したがって、\({\rm B}\) さんの \(1\) 日分の得点は、\({\rm A}\) さんと比べて散らばりの大きさが小さいといえる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}(0 \cdot 0+1 \cdot 0+2 \cdot 4+3 \cdot 3+4 \cdot 2+5 \cdot 1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}(0+0+8+9+8+5)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}(0+0+8+9+8+5)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
さらに、\(x-\overline{x}~,~(x-\overline{x})^2~,~(x-\overline{x})^2f\) の値は、次の表のようになる。
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
x \,(点) & 度数\,f & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2 & (x-\overline{x})^2f
\\\hline
0 & 0 & -3 & 9 & 0
\\1 & 0 & -2 & 4 & 0
\\2 & 4 & -1 & 1 & 4
\\3 & 3 & 0 & 0 & 0
\\4 & 2 & 1 & 1 & 2
\\5 & 1 & 2 & 4 & 4
\end{array}\)
x \,(点) & 度数\,f & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2 & (x-\overline{x})^2f
\\\hline
0 & 0 & -3 & 9 & 0
\\1 & 0 & -2 & 4 & 0
\\2 & 4 & -1 & 1 & 4
\\3 & 3 & 0 & 0 & 0
\\4 & 2 & 1 & 1 & 2
\\5 & 1 & 2 & 4 & 4
\end{array}\)
よって、得点の分散 \(s^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~s^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}(0+0+4+0+2+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
標準偏差 \(s\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\sqrt{\,1\,}
\\[3pt]~~~&=&1 \,(点)\end{eqnarray}\)
ここで、\({\rm A}\) さんの標準偏差は \(\sqrt{\,3\,}=1.73\,(点)\) であり、
\(1 \lt \sqrt{\,3\,}\) より、\({\rm B}\) さんの標準偏差の方が小さい。
したがって、\({\rm B}\) さんの \(1\) 日分の得点は、\({\rm A}\) さんと比べて散らばりの大きさが小さいといえる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\({\rm A}~,~{\rm B}\) の \(2\) 人が \(10\) 点満点の小テストを \(5\) 回受け、右の表のデータを得た。\({\rm A}~,~{\rm B}\) それぞれの得点の分散を求めよ。
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
回 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5
\\\hline
{\rm A}\,の得点 & 7 & 5 & 8 & 6 & 4
\\{\rm B}\,の得点 & 2 & 7 & 10 & 5 & 6
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
回 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5
\\\hline
{\rm A}\,の得点 & 7 & 5 & 8 & 6 & 4
\\{\rm B}\,の得点 & 2 & 7 & 10 & 5 & 6
\end{array}\)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.179 Training 2
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\({\rm A}\) の得点の平均値 \(\overline{x}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,7+5+8+6+4\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\({\rm A}\) の得点の偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
7 & +1 & 1^2=1
\\5 & -1 & (-1)^2=1
\\8 & +2 & 2^2=4
\\6 & 0 & 0
\\4 & -2 & (-2)^2=4
\end{array}\)
\({\rm A}\) の得点の分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,1+1+4+0+4\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm A}\) の得点の分散は \(2\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,2+7+10+5+6\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\({\rm B}\) の得点の偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
2 & -4 & (-4)^2=16
\\7 & +1 & 1^2=1
\\10 & +4 & 4^2=16
\\5 & -1 & (-1)^2=1
\\6 & 0 & 0
\end{array}\)
\({\rm B}\) の得点の分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,16+1+16+1+0\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,34\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6.8\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm B}\) の得点の分散は \(6.8\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,7+5+8+6+4\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\({\rm A}\) の得点の偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
7 & +1 & 1^2=1
\\5 & -1 & (-1)^2=1
\\8 & +2 & 2^2=4
\\6 & 0 & 0
\\4 & -2 & (-2)^2=4
\end{array}\)
\({\rm A}\) の得点の分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,1+1+4+0+4\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm A}\) の得点の分散は \(2\) となる
\({\rm B}\) の得点の平均値 \(\overline{x}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,2+7+10+5+6\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\({\rm B}\) の得点の偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
2 & -4 & (-4)^2=16
\\7 & +1 & 1^2=1
\\10 & +4 & 4^2=16
\\5 & -1 & (-1)^2=1
\\6 & 0 & 0
\end{array}\)
\({\rm B}\) の得点の分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,16+1+16+1+0\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,34\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6.8\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm B}\) の得点の分散は \(6.8\) となる
