このページは、「データの2乗の値と分散・標準偏差」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
データの2乗の値と分散・標準偏差 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の得点データの分散と標準偏差を求めよ。ただし、標準偏差は小数第 \(2\) 位を四捨五入せよ。
\(3~~3~~3~~4~~4~~4~~5~~5~~5~~5\)
\(5~~5~~5~~6~~6~~6~~6~~6~~7~~7\)
\(3~~3~~3~~4~~4~~4~~5~~5~~5~~5\)
\(5~~5~~5~~6~~6~~6~~6~~6~~7~~7\)
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.189 問1
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この \(20\) 個のデータの平均値 \(\overline{x}\) は、
この \(20\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
3 & 9
\\4 & 16
\\5 & 25
\\6 & 36
\\7 & 49
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&26.4-5^2
\\[3pt]~~~&=&26.4-25
\\[3pt]~~~&=&1.4\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,1.4\,}
\\[3pt]~~~&=&1.183\cdots
\\[3pt]~~~&{\small ~≒~}&1.2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(1.4\) 、標準偏差 \(1.2\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,3+3+3+4+4+4+5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+7+7\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この \(20\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
3 & 9
\\4 & 16
\\5 & 25
\\6 & 36
\\7 & 49
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x^2}&=&\displaystyle \frac{\,9 {\, \small \times \,} 3+16 {\, \small \times \,} 3+25 {\, \small \times \,} 7+36 {\, \small \times \,} 5+49 {\, \small \times \,} 2\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27+48+175+180+98\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,528\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&26.4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27+48+175+180+98\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,528\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&26.4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&26.4-5^2
\\[3pt]~~~&=&26.4-25
\\[3pt]~~~&=&1.4\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,1.4\,}
\\[3pt]~~~&=&1.183\cdots
\\[3pt]~~~&{\small ~≒~}&1.2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(1.4\) 、標準偏差 \(1.2\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の得点データの分散と標準偏差を求めよ。ただし、標準偏差は小数第 \(2\) 位を四捨五入せよ。
\(1~~2~~3~~3~~4~~4~~4~~4~~5~~5\)
\(5~~5~~5~~6~~6~~6~~7~~7~~8~~10\)
\(1~~2~~3~~3~~4~~4~~4~~4~~5~~5\)
\(5~~5~~5~~6~~6~~6~~7~~7~~8~~10\)
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.189 練習12
▼ より詳しい解説を開く
この \(20\) 個のデータの平均値 \(\overline{x}\) は、
この \(20\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
1 & 1
\\2 & 4
\\3 & 9
\\4 & 16
\\5 & 25
\\6 & 36
\\7 & 49
\\8 & 64
\\10 & 100
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&29.1-5^2
\\[3pt]~~~&=&29.1-25
\\[3pt]~~~&=&4.1\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,4.1\,}
\\[3pt]~~~&=&2.024\cdots
\\[3pt]~~~&{\small ~≒~}&2.0\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(4.1\) 、標準偏差 \(2.0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+6+6+6+7+7+8+10\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この \(20\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
1 & 1
\\2 & 4
\\3 & 9
\\4 & 16
\\5 & 25
\\6 & 36
\\7 & 49
\\8 & 64
\\10 & 100
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x^2}&=&\displaystyle \frac{\,1+4+9 {\, \small \times \,} 2+16 {\, \small \times \,} 4+25 {\, \small \times \,} 5+36 {\, \small \times \,} 3+49 {\, \small \times \,} 2+64+100\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+4+18+64+125+108+98+64+100\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,582\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&29.1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+4+18+64+125+108+98+64+100\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,582\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&29.1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&29.1-5^2
\\[3pt]~~~&=&29.1-25
\\[3pt]~~~&=&4.1\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,4.1\,}
\\[3pt]~~~&=&2.024\cdots
\\[3pt]~~~&{\small ~≒~}&2.0\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(4.1\) 、標準偏差 \(2.0\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次のデータについて、分散、標準偏差を求めよ。
\(5~,~3~,~6~,~8~,~5~,~8~,~5~,~4~,~6~,~5\)
\(5~,~3~,~6~,~8~,~5~,~8~,~5~,~4~,~6~,~5\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.182 練習11
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.185 練習11
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この \(10\) 個のデータの平均値 \(\overline{x}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,5+3+6+8+5+8+5+4+6+5\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,55\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&5.5\end{eqnarray}\)
この \(10\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
3 & 9
\\4 & 16
\\5 & 25
\\6 & 36
\\8 & 64
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&32.5-5.5^2
\\[3pt]~~~&=&32.5-30.25
\\[3pt]~~~&=&2.25\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,2.25\,}
\\[3pt]~~~&=&1.5\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(2.25\) 、標準偏差 \(1.5\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,5+3+6+8+5+8+5+4+6+5\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,55\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&5.5\end{eqnarray}\)
この \(10\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
3 & 9
\\4 & 16
\\5 & 25
\\6 & 36
\\8 & 64
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x^2}&=&\displaystyle \frac{\,9+16+25 {\, \small \times \,} 4+36 {\, \small \times \,} 2+64 {\, \small \times \,} 2\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+16+100+72+128\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,325\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&32.5\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+16+100+72+128\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,325\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&32.5\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&32.5-5.5^2
\\[3pt]~~~&=&32.5-30.25
\\[3pt]~~~&=&2.25\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の正の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,2.25\,}
\\[3pt]~~~&=&1.5\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(2.25\) 、標準偏差 \(1.5\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(5\) 個の値 \(2~,~3~,~a~,~8~,~12\) からなるデータの平均値が \(6\) であるとき、\(a\) の値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.200 問題 2
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.197 補充問題 2
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このデータの平均値が \(6\) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2+3+a+8+12\,}{\,5\,}&=&6
\\[5pt]~~~2+3+a+8+12&=&30
\\[3pt]~~~a+25&=&30
\\[3pt]~~~a&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=5\) となる
この \(5\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
2 & 4
\\3 & 9
\\5 & 25
\\8 & 64
\\12 & 144
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x^2}&=&\displaystyle \frac{\,4+9+25+64+144\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,246\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&49.2\end{eqnarray}\)
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&49.2-6^2
\\[3pt]~~~&=&49.2-36
\\[3pt]~~~&=&13.2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(13.2\) となる
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
2 & -4 & (-4)^2=16
\\3 & -3 & (-3)^2=9
\\5 & -1 & (-1)^2=1
\\8 & +2 & 2^2=4
\\12 & +6 & 6^2=36
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,16+9+1+4+36\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,66\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&13.2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(13.2\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2+3+a+8+12\,}{\,5\,}&=&6
\\[5pt]~~~2+3+a+8+12&=&30
\\[3pt]~~~a+25&=&30
\\[3pt]~~~a&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=5\) となる
このとき、データは \(2~,~3~,~5~,~8~,~12\) となる。
この \(5\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
2 & 4
\\3 & 9
\\5 & 25
\\8 & 64
\\12 & 144
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x^2}&=&\displaystyle \frac{\,4+9+25+64+144\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,246\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&49.2\end{eqnarray}\)
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&49.2-6^2
\\[3pt]~~~&=&49.2-36
\\[3pt]~~~&=&13.2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(13.2\) となる
【別解】\(5\) 個のデータの偏差 \(x-\overline{x}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を計算して表にまとめると、
\(\begin{array}{c|c|c}
~x~ & x-\overline{x} & (x-\overline{x})^2
\\\hline
2 & -4 & (-4)^2=16
\\3 & -3 & (-3)^2=9
\\5 & -1 & (-1)^2=1
\\8 & +2 & 2^2=4
\\12 & +6 & 6^2=36
\end{array}\)
分散は、偏差の \(2\) 乗の平均値より、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,16+9+1+4+36\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,66\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&13.2\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(13.2\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の表は、\({\rm A}\) さんの \(1\) 日の学習時間を \(5\) 日間記録したものである。
\(\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
1日の学習時間\,x \,(時間) & 1 & 2 & 3 & 1 & 3
\end{array}\)
このとき、\(1\) 日の学習時間の分散を求めよ。
\(\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
1日の学習時間\,x \,(時間) & 1 & 2 & 3 & 1 & 3
\end{array}\)
このとき、\(1\) 日の学習時間の分散を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.183 問15
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.180 参考 問1
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この \(5\) 個のデータの平均値 \(\overline{x}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+1+3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
この \(5\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
1 & 1
\\2 & 4
\\3 & 9
\\1 & 1
\\3 & 9
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x^2}&=&\displaystyle \frac{\,1+4+9+1+9\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4.8\end{eqnarray}\)
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&4.8-2^2
\\[3pt]~~~&=&4.8-4
\\[3pt]~~~&=&0.8\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(0.8\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+1+3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
この \(5\) 個のデータの \(2\) 乗の値は、
\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~x^2~
\\\hline
1 & 1
\\2 & 4
\\3 & 9
\\1 & 1
\\3 & 9
\end{array}\)
\(2\) 乗の値の平均値 \(\overline{x^2}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x^2}&=&\displaystyle \frac{\,1+4+9+1+9\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4.8\end{eqnarray}\)
分散 \({s_x}^2\) は、\(\overline{x^2}\) から \(\overline{x}\) の \(2\) 乗を引いて、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\overline{x^2}-(\overline{x})^2
\\[3pt]~~~&=&4.8-2^2
\\[3pt]~~~&=&4.8-4
\\[3pt]~~~&=&0.8\end{eqnarray}\)
したがって、分散 \(0.8\) となる
