このページは、「2つのグループと全体の平均値・分散」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
2つのグループと全体の平均値・分散 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(25\) 個の値からなるデータがあり、そのうちの \(10\) 個の値の平均値は \(4\)、分散は \(14\)、残りの \(15\) 個の値の平均値は \(9\)、分散は \(19\) である。
\({\small (1)}~\) このデータの平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) このデータの分散を求めよ。
\({\small (1)}~\) このデータの平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) このデータの分散を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.210 演習問題B 6
\({\small (1)}~\)
\(10\) 個のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~10 {\, \small \times \,} 4&=&40\end{eqnarray}\)
残りの \(15\) 個のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~15 {\, \small \times \,} 9&=&135\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~40+135&=&175\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c}
& 平均値 & 合計 \\
\hline
10個 & 4 & 40 \\
15個 & 9 & 135 \\
25個 & ? & 175
\end{array}\)
したがって、全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~175 {\, \small \div \,} 25&=&7\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
分散 \(s^2=(x^2\) の平均値\()-(x\) の平均値\()^2\)
であるので、
\((x^2\) の平均値\()=\) 分散 \(s^2+(x\) の平均値\()^2\)
これより、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 \\
\hline
10個 & 4 & 16 & 14 & 30\\
15個 & 9 & 81 & 19 & 100 \\
25個 & 7 & & ? &
\end{array}\)
よって、
\(10\) 個のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~10 {\, \small \times \,} 30&=&300\end{eqnarray}\)
残りの \(15\) 個のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~15 {\, \small \times \,} 100&=&1500\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~300+1500&=&1800\end{eqnarray}\)
これより、\(x^2\) の全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~1800 {\, \small \div \,} 25&=&72\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
10個 & 4 & 16 & 14 & 30 & 300 \\
15個 & 9 & 81 & 19 & 100 & 1500 \\
25個 & 7 & 49 & ? & 72 & 1800
\end{array}\)
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
10個 & 4 & 16 & 14 & 30 & 300 \\
15個 & 9 & 81 & 19 & 100 & 1500 \\
25個 & 7 & 49 & ? & 72 & 1800
\end{array}\)
以上より、全体の分散は、
\((x^2\) の全体の平均値\()-(x\) の全体の平均値\()^2\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~72-7^2&=&72-49\\[3pt]~~~&=&23\end{eqnarray}\)
したがって、\(23\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(20\) 個の値からなるデータがあり、そのうちの \(8\) 個の値の平均値は \(16\)、分散は \(3\)、残りの \(12\) 個の値の平均値は \(11\)、分散は \(8\) である。
\({\small (1)}~\) このデータの平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) このデータの分散を求めよ。
\({\small (1)}~\) このデータの平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) このデータの分散を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.202 章末問題B 5
\({\small (1)}~\)
\(8\) 個のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~8 {\, \small \times \,} 16&=&128\end{eqnarray}\)
残りの \(12\) 個のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~12 {\, \small \times \,} 11&=&132\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~128+132&=&260\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c}
& 平均値 & 合計 \\
\hline
8個 & 16 & 128 \\
12個 & 11 & 132 \\
20個 & ? & 260
\end{array}\)
したがって、全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~260 {\, \small \div \,} 20&=&13\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
分散 \(s^2=(x^2\) の平均値\()-(x\) の平均値\()^2\)
であるので、
\((x^2\) の平均値\()=\) 分散 \(s^2+(x\) の平均値\()^2\)
これより、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 \\
\hline
8個 & 16 & 256 & 3 & 259\\
12個 & 11 & 121 & 8 & 129 \\
20個 & 13 & & ? &
\end{array}\)
よって、
\(8\) 個のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~8 {\, \small \times \,} 259&=&2072\end{eqnarray}\)
残りの \(12\) 個のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~12 {\, \small \times \,} 129&=&1548\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~2072+1548&=&3620\end{eqnarray}\)
これより、\(x^2\) の全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~3620 {\, \small \div \,} 20&=&181\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
8個 & 16 & 256 & 3 & 259 & 2072 \\
12個 & 11 & 121 & 8 & 129 & 1548 \\
20個 & 13 & 169 & ? & 181 & 3620
\end{array}\)
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
8個 & 16 & 256 & 3 & 259 & 2072 \\
12個 & 11 & 121 & 8 & 129 & 1548 \\
20個 & 13 & 169 & ? & 181 & 3620
\end{array}\)
以上より、全体の分散は、
\((x^2\) の全体の平均値\()-(x\) の全体の平均値\()^2\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~181-13^2&=&181-169\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
したがって、\(12\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(20\) 個の値からなるデータがあり、そのうちの \(8\) 個の値の平均値は \(16\)、分散は \(3\)、残りの \(12\) 個の値の平均値は \(11\)、分散は \(8\) である。
\({\small (1)}~\) このデータの平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) このデータの分散を求めよ。
\({\small (1)}~\) このデータの平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) このデータの分散を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.199 章末問題B 4
\({\small (1)}~\)
\(8\) 個のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~8 {\, \small \times \,} 16&=&128\end{eqnarray}\)
残りの \(12\) 個のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~12 {\, \small \times \,} 11&=&132\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~128+132&=&260\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c}
& 平均値 & 合計 \\
\hline
8個 & 16 & 128 \\
12個 & 11 & 132 \\
20個 & ? & 260
\end{array}\)
したがって、全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~260 {\, \small \div \,} 20&=&13\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
分散 \(s^2=(x^2\) の平均値\()-(x\) の平均値\()^2\)
であるので、
\((x^2\) の平均値\()=\) 分散 \(s^2+(x\) の平均値\()^2\)
これより、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 \\
\hline
8個 & 16 & 256 & 3 & 259\\
12個 & 11 & 121 & 8 & 129 \\
20個 & 13 & & ? &
\end{array}\)
よって、
\(8\) 個のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~8 {\, \small \times \,} 259&=&2072\end{eqnarray}\)
残りの \(12\) 個のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~12 {\, \small \times \,} 129&=&1548\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~2072+1548&=&3620\end{eqnarray}\)
これより、\(x^2\) の全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~3620 {\, \small \div \,} 20&=&181\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
8個 & 16 & 256 & 3 & 259 & 2072 \\
12個 & 11 & 121 & 8 & 129 & 1548 \\
20個 & 13 & 169 & ? & 181 & 3620
\end{array}\)
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
8個 & 16 & 256 & 3 & 259 & 2072 \\
12個 & 11 & 121 & 8 & 129 & 1548 \\
20個 & 13 & 169 & ? & 181 & 3620
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
以上より、全体の分散は、
\((x^2\) の全体の平均値\()-(x\) の全体の平均値\()^2\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~181-13^2&=&181-169\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
したがって、\(12\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(40\) 人の生徒に数学の小テストを実施した。欠席者 \(1\) 人を除く \(39\) 人の得点の平均値は \(30\) 点、分散は \(10\) であった。欠席者 \(1\) 人は後日同じ小テストを受け、得点は \(30\) 点であった。このとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) \(40\) 人の得点の平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(40\) 人の得点の分散を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(40\) 人の得点の平均値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(40\) 人の得点の分散を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.186 問題 3
\({\small (1)}~\)
\(39\) 人のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~39 {\, \small \times \,} 30&=&1170\end{eqnarray}\)
残りの \(1\) 人のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~1 {\, \small \times \,} 30&=&30\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~1170+30&=&1200\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c}
& 平均値 & 合計 \\
\hline
39人 & 30 & 1170 \\
1人 & 30 & 30 \\
40人 & ? & 1200
\end{array}\)
したがって、全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~1200 {\, \small \div \,} 40&=&30\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
分散 \(s^2=(x^2\) の平均値\()-(x\) の平均値\()^2\)
であるので、
\((x^2\) の平均値\()=\) 分散 \(s^2+(x\) の平均値\()^2\)
これより、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 \\
\hline
39人 & 30 & 900 & 10 & 910\\
1人 & 30 & 900 & 0 & 900 \\
40人 & 30 & & ? &
\end{array}\)
※ \(1\) 人のデータは \(30\) 点のみなので、分散は \(0\) である。
よって、
\(39\) 人のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~39 {\, \small \times \,} 910&=&35490\end{eqnarray}\)
残りの \(1\) 人のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~1 {\, \small \times \,} 900&=&900\end{eqnarray}\)
よって、全体のデータの \(x^2\) の合計は、
\(\begin{eqnarray}~~~35490+900&=&36390\end{eqnarray}\)
これより、\(x^2\) の全体の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~36390 {\, \small \div \,} 40&=&909.75\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
39人 & 30 & 900 & 10 & 910 & 35490 \\
1人 & 30 & 900 & 0 & 900 & 900 \\
40人 & 30 & 900 & ? & 909.75 & 36390
\end{array}\)
& 平均値 & (平均値)^2 & 分散 & x^2の平均値 & x^2の合計 \\
\hline
39人 & 30 & 900 & 10 & 910 & 35490 \\
1人 & 30 & 900 & 0 & 900 & 900 \\
40人 & 30 & 900 & ? & 909.75 & 36390
\end{array}\)
以上より、全体の分散は、
\((x^2\) の全体の平均値\()-(x\) の全体の平均値\()^2\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~909.75-30^2&=&909.75-900\\[3pt]~~~&=&9.75\end{eqnarray}\)
したがって、\(9.75\) となる
