このページは、「2つのデータの共分散と相関係数」の練習問題アーカイブページとなります。
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2つのデータの共分散と相関係数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01下の表は、\(10\) 人の生徒に \(10\) 点満点の \(2\) 種類のテスト A、B を行った得点の結果である。A の得点と B の得点の相関係数を求めよ。ただし、小数第 \(3\) 位を四捨五入せよ。
\(\begin{array}{c|cccccccccc}
生徒の番号 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
{\rm A}の得点 & 8 & 10 & 6 & 4 & 9 & 7 & 8 & 4 & 5 & 9 \\
\hline
{\rm B}の得点 & 4 & 5 & 6 & 7 & 5 & 5 & 3 & 9 & 10 & 6
\end{array}\)
生徒の番号 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
{\rm A}の得点 & 8 & 10 & 6 & 4 & 9 & 7 & 8 & 4 & 5 & 9 \\
\hline
{\rm B}の得点 & 4 & 5 & 6 & 7 & 5 & 5 & 3 & 9 & 10 & 6
\end{array}\)
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.197 練習15
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データ \(x\) の平均値は、
データ \(y\) の平均値は、
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 8 & 4 & +1 & -2 \\
2 & 10 & 5 & +3 & -1 \\
3 & 6 & 6 & -1 & 0 \\
4 & 4 & 7 & -3 & +1 \\
5 & 9 & 5 & +2 & -1 \\
6 & 7 & 5 & 0 & -1 \\
7 & 8 & 3 & +1 & -3 \\
8 & 4 & 9 & -3 & +3 \\
9 & 5 & 10 & -2 & +4 \\
10 & 9 & 6 & +2 & 0
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=7\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=6\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
1 & 1 & 4 & -2 \\
2 & 9 & 1 & -3 \\
3 & 1 & 0 & 0 \\
4 & 9 & 1 & -3 \\
5 & 4 & 1 & -2 \\
6 & 0 & 1 & 0 \\
7 & 1 & 9 & -3 \\
8 & 9 & 9 & -9 \\
9 & 4 & 16 & -8 \\
10 & 4 & 0 & 0 \\
\hline
計 & 42 & 42 & -30
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,42\,}{\,10\,}=4.2\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,4.2\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,42\,}{\,10\,}=4.2\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,4.2\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,10\,}=-3\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,\sqrt{\,4.2\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,4.2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,4.2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,30\,}{\,42\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\small ~≒~}0.714\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~r{\small ~≒~}-0.71\end{eqnarray}\)
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,\sqrt{\,42 {\, \small \times \,} 42\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,42\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\small ~≒~}-0.71\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,8+10+6+4+9+7+8+4+5+9\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,10\,}=7\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,4+5+6+7+5+5+3+9+10+6\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,10\,}=6\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 8 & 4 & +1 & -2 \\
2 & 10 & 5 & +3 & -1 \\
3 & 6 & 6 & -1 & 0 \\
4 & 4 & 7 & -3 & +1 \\
5 & 9 & 5 & +2 & -1 \\
6 & 7 & 5 & 0 & -1 \\
7 & 8 & 3 & +1 & -3 \\
8 & 4 & 9 & -3 & +3 \\
9 & 5 & 10 & -2 & +4 \\
10 & 9 & 6 & +2 & 0
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=7\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=6\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
1 & 1 & 4 & -2 \\
2 & 9 & 1 & -3 \\
3 & 1 & 0 & 0 \\
4 & 9 & 1 & -3 \\
5 & 4 & 1 & -2 \\
6 & 0 & 1 & 0 \\
7 & 1 & 9 & -3 \\
8 & 9 & 9 & -9 \\
9 & 4 & 16 & -8 \\
10 & 4 & 0 & 0 \\
\hline
計 & 42 & 42 & -30
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,42\,}{\,10\,}=4.2\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,4.2\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,42\,}{\,10\,}=4.2\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,4.2\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,10\,}=-3\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,\sqrt{\,4.2\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,4.2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,4.2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,30\,}{\,42\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\small ~≒~}0.714\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~r{\small ~≒~}-0.71\end{eqnarray}\)
【別解】
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,\sqrt{\,42 {\, \small \times \,} 42\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,42\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\small ~≒~}-0.71\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の表は、\(10\) 人の生徒に漢字テストを \(2\) 回行い、得点のデータを表にしたものである。\(1\) 回目のデータを横軸に、\(2\) 回目のデータを縦軸にとっている。なお、得点は整数である。次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(1\) 回目のデータの中央値
\({\small (2)}~\) \(1\) 回目のデータの分散
\({\small (3)}~\) \(1\) 回目のデータと \(2\) 回目のデータの相関係数
\({\small (1)}~\) \(1\) 回目のデータの中央値
\({\small (2)}~\) \(1\) 回目のデータの分散
\({\small (3)}~\) \(1\) 回目のデータと \(2\) 回目のデータの相関係数
\(\begin{array}{c|cccccccccc}
生徒 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
1回目~(x) & 1 & 1 & 2 & 4 & 7 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 \\
\hline
2回目~(y) & 2 & 4 & 3 & 5 & 4 & 5 & 6 & 7 & 6 & 8
\end{array}\)
生徒 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
1回目~(x) & 1 & 1 & 2 & 4 & 7 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 \\
\hline
2回目~(y) & 2 & 4 & 3 & 5 & 4 & 5 & 6 & 7 & 6 & 8
\end{array}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.207 問題 2
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.200 問題 1
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\({\small (1)}~\)\(1\) 回目のデータを小さい順に並べると、
\(1~,~1~,~2~,~4~,~7~,~8~,~8~,~9~,~10~,~10\)
データは \(10\) 個なので、中央値は \(5\) 番目と \(6\) 番目の平均となり、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7+8\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&7.5\end{eqnarray}\)
したがって、中央値は \(7.5\)
各データの偏差の2乗は、
よって、分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,10\,}=12\end{eqnarray}\)
したがって、\(1\) 回目のデータの分散は \(12\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 1 & 2 & -5 & -3 \\
2 & 1 & 4 & -5 & -1 \\
3 & 2 & 3 & -4 & -2 \\
4 & 4 & 5 & -2 & 0 \\
5 & 7 & 4 & +1 & -1 \\
6 & 8 & 5 & +2 & 0 \\
7 & 8 & 6 & +2 & +1 \\
8 & 9 & 7 & +3 & +2 \\
9 & 10 & 6 & +4 & +1 \\
10 & 10 & 8 & +4 & +3
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=6\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=5\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
1 & 25 & 9 & +15 \\
2 & 25 & 1 & +5 \\
3 & 16 & 4 & +8 \\
4 & 4 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 1 & -1 \\
6 & 4 & 0 & 0 \\
7 & 4 & 1 & +2 \\
8 & 9 & 4 & +6 \\
9 & 16 & 1 & +4 \\
10 & 16 & 9 & +12 \\
\hline
計 & 120 & 30 & 51
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,120\,}{\,10\,}=12\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,12\,}=2\sqrt{\,3\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,30\,}{\,10\,}=3\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,3\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,51\,}{\,10\,}=5.1\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,5.1\,}{\,2\sqrt{\,3\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,5.1\,}{\,2 \cdot 3\,}=\displaystyle \frac{\,5.1\,}{\,6\,}=0.85\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(0.85\)
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,51\,}{\,\sqrt{\,120 {\, \small \times \,} 30\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,51\,}{\,\sqrt{\,3600\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,51\,}{\,60\,}\\[5pt]~~~&=&0.85\end{eqnarray}\)
\(1~,~1~,~2~,~4~,~7~,~8~,~8~,~9~,~10~,~10\)
データは \(10\) 個なので、中央値は \(5\) 番目と \(6\) 番目の平均となり、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7+8\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&7.5\end{eqnarray}\)
したがって、中央値は \(7.5\)
\({\small (2)}~\)データ \(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,1+1+2+4+7+8+8+9+10+10\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,10\,}=6\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
各データの偏差の2乗は、
\(\begin{array}{c|cccccccccc|c}
x & 1 & 1 & 2 & 4 & 7 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 & \\
\hline
x-\overline{x} & -5 & -5 & -4 & -2 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 4 & \\
\hline
(x-\overline{x})^2 & 25 & 25 & 16 & 4 & 1 & 4 & 4 & 9 & 16 & 16 & 計~120
\end{array}\)
x & 1 & 1 & 2 & 4 & 7 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 & \\
\hline
x-\overline{x} & -5 & -5 & -4 & -2 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 4 & \\
\hline
(x-\overline{x})^2 & 25 & 25 & 16 & 4 & 1 & 4 & 4 & 9 & 16 & 16 & 計~120
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,10\,}=12\end{eqnarray}\)
したがって、\(1\) 回目のデータの分散は \(12\)
\({\small (3)}~\)データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,2+4+3+5+4+5+6+7+6+8\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,50\,}{\,10\,}=5\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 1 & 2 & -5 & -3 \\
2 & 1 & 4 & -5 & -1 \\
3 & 2 & 3 & -4 & -2 \\
4 & 4 & 5 & -2 & 0 \\
5 & 7 & 4 & +1 & -1 \\
6 & 8 & 5 & +2 & 0 \\
7 & 8 & 6 & +2 & +1 \\
8 & 9 & 7 & +3 & +2 \\
9 & 10 & 6 & +4 & +1 \\
10 & 10 & 8 & +4 & +3
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=6\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=5\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
1 & 25 & 9 & +15 \\
2 & 25 & 1 & +5 \\
3 & 16 & 4 & +8 \\
4 & 4 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 1 & -1 \\
6 & 4 & 0 & 0 \\
7 & 4 & 1 & +2 \\
8 & 9 & 4 & +6 \\
9 & 16 & 1 & +4 \\
10 & 16 & 9 & +12 \\
\hline
計 & 120 & 30 & 51
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,120\,}{\,10\,}=12\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,12\,}=2\sqrt{\,3\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,30\,}{\,10\,}=3\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,3\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,51\,}{\,10\,}=5.1\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,5.1\,}{\,2\sqrt{\,3\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,5.1\,}{\,2 \cdot 3\,}=\displaystyle \frac{\,5.1\,}{\,6\,}=0.85\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(0.85\)
【別解】
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,51\,}{\,\sqrt{\,120 {\, \small \times \,} 30\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,51\,}{\,\sqrt{\,3600\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,51\,}{\,60\,}\\[5pt]~~~&=&0.85\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03下の表は、\(6\) 人の生徒に \(10\) 点満点の \(2\) 種類のテスト A、B を行った結果である。A、B の得点の相関係数を求めよ。また、これらの間にはどのような相関があると考えられるか。（単位は点）
\(\begin{array}{c|cccccc}
& ① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ \\
\hline
テスト{\rm A} & 5 & 7 & 5 & 4 & 3 & 6 \\
\hline
テスト{\rm B} & 4 & 1 & 3 & 5 & 9 & 2
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|cccccc}
& ① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ \\
\hline
テスト{\rm A} & 5 & 7 & 5 & 4 & 3 & 6 \\
\hline
テスト{\rm B} & 4 & 1 & 3 & 5 & 9 & 2
\end{array}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.189 練習14
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.191 練習14
▼ より詳しい解説を開く
データ \(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,5+7+5+4+3+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,30\,}{\,6\,}=5\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,4+1+3+5+9+2\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,24\,}{\,6\,}=4\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
① & 5 & 4 & 0 & 0 \\
② & 7 & 1 & +2 & -3 \\
③ & 5 & 3 & 0 & -1 \\
④ & 4 & 5 & -1 & +1 \\
⑤ & 3 & 9 & -2 & +5 \\
⑥ & 6 & 2 & +1 & -2
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=5\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=4\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
① & 0 & 0 & 0 \\
② & 4 & 9 & -6 \\
③ & 0 & 1 & 0 \\
④ & 1 & 1 & -1 \\
⑤ & 4 & 25 & -10 \\
⑥ & 1 & 4 & -2 \\
\hline
計 & 10 & 40 & -19
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,100\,}{\,9\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,19\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&=&-0.95\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(-0.95\) であり、強い負の相関がある
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,\sqrt{\,10 {\, \small \times \,} 40\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,\sqrt{\,400\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&=&-0.95\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,5+7+5+4+3+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,30\,}{\,6\,}=5\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,4+1+3+5+9+2\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,24\,}{\,6\,}=4\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
① & 5 & 4 & 0 & 0 \\
② & 7 & 1 & +2 & -3 \\
③ & 5 & 3 & 0 & -1 \\
④ & 4 & 5 & -1 & +1 \\
⑤ & 3 & 9 & -2 & +5 \\
⑥ & 6 & 2 & +1 & -2
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=5\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=4\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
① & 0 & 0 & 0 \\
② & 4 & 9 & -6 \\
③ & 0 & 1 & 0 \\
④ & 1 & 1 & -1 \\
⑤ & 4 & 25 & -10 \\
⑥ & 1 & 4 & -2 \\
\hline
計 & 10 & 40 & -19
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,100\,}{\,9\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,6\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,19\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&=&-0.95\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(-0.95\) であり、強い負の相関がある
【別解】
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,\sqrt{\,10 {\, \small \times \,} 40\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,\sqrt{\,400\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-19\,}{\,20\,}\\[5pt]~~~&=&-0.95\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の表は、\(5\) 人の生徒の数学と英語の小テストの結果である。数学の得点と英語の得点の相関係数を、四捨五入して小数第 \(2\) 位まで求めよ。ただし、\(\sqrt{\,2\,}=1.414\) とする。
\(\begin{array}{c|ccccc}
& {\rm a} & {\rm b} & {\rm c} & {\rm d} & {\rm e} \\
\hline
数学 & 8 & 7 & 9 & 9 & 7 \\
\hline
英語 & 7 & 5 & 9 & 7 & 7
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|ccccc}
& {\rm a} & {\rm b} & {\rm c} & {\rm d} & {\rm e} \\
\hline
数学 & 8 & 7 & 9 & 9 & 7 \\
\hline
英語 & 7 & 5 & 9 & 7 & 7
\end{array}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.190 問2
▼ より詳しい解説を開く
データ \(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,8+7+9+9+7\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,5\,}=8\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,7+5+9+7+7\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,5\,}=7\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
{\rm a} & 8 & 7 & 0 & 0 \\
{\rm b} & 7 & 5 & -1 & -2 \\
{\rm c} & 9 & 9 & +1 & +2 \\
{\rm d} & 9 & 7 & +1 & 0 \\
{\rm e} & 7 & 7 & -1 & 0
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=8\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=7\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
{\rm a} & 0 & 0 & 0 \\
{\rm b} & 1 & 4 & +2 \\
{\rm c} & 1 & 4 & +2 \\
{\rm d} & 1 & 0 & 0 \\
{\rm e} & 1 & 0 & 0 \\
\hline
計 & 4 & 8 & 4
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\,}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,2\,}=1.414\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1.414\,}{\,2\,}&=&0.707\end{eqnarray}\)
四捨五入して、
したがって、相関係数は \(0.71\)
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,4 {\, \small \times \,} 8\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,32\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}{\small ~≒~}0.71\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,8+7+9+9+7\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,5\,}=8\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,7+5+9+7+7\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,5\,}=7\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
{\rm a} & 8 & 7 & 0 & 0 \\
{\rm b} & 7 & 5 & -1 & -2 \\
{\rm c} & 9 & 9 & +1 & +2 \\
{\rm d} & 9 & 7 & +1 & 0 \\
{\rm e} & 7 & 7 & -1 & 0
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=8\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=7\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
{\rm a} & 0 & 0 & 0 \\
{\rm b} & 1 & 4 & +2 \\
{\rm c} & 1 & 4 & +2 \\
{\rm d} & 1 & 0 & 0 \\
{\rm e} & 1 & 0 & 0 \\
\hline
計 & 4 & 8 & 4
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\,}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,2\,}=1.414\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1.414\,}{\,2\,}&=&0.707\end{eqnarray}\)
四捨五入して、
したがって、相関係数は \(0.71\)
【別解】
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,4 {\, \small \times \,} 8\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,32\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}{\small ~≒~}0.71\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ0520人の生徒に、数学と国語の \(5\) 点満点の小テストを行った。数学の得点を \(x\) 点、国語の得点を \(y\) 点とする。そのときの結果が次の表である。例えば、数学が \(3\) 点、国語が \(4\) 点の生徒は \(7\) 人いることが分かる。このとき、次の問に答えよ。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
\lower{2pt}{y}{\large \diagdown}\raise{2pt}{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
5 & & & & 1 & & 3 & 4 \\
4 & & & 3 & 7 & 1 & 1 & 12 \\
3 & & 3 & & 1 & & & 4 \\
2 & & & & & & & 0 \\
1 & & & & & & & 0 \\
0 & & & & & & & 0 \\
\hline
計 & 0 & 3 & 3 & 9 & 1 & 4 & 20
\end{array}\)
\({\small (1)}~x\) の平均値 \(\overline{x}\) と、\(y\) の平均値 \(\overline{y}\) を求めよ。
\({\small (2)}~x\) と \(y\) の分散は、次の表のようになる。\(x\) と \(y\) の相関係数 \(r\) を求めよ。
\(\begin{array}{c|c|c}
& 数学 & 国語 \\
\hline
分散 & 1.6 & 0.4
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
\lower{2pt}{y}{\large \diagdown}\raise{2pt}{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
5 & & & & 1 & & 3 & 4 \\
4 & & & 3 & 7 & 1 & 1 & 12 \\
3 & & 3 & & 1 & & & 4 \\
2 & & & & & & & 0 \\
1 & & & & & & & 0 \\
0 & & & & & & & 0 \\
\hline
計 & 0 & 3 & 3 & 9 & 1 & 4 & 20
\end{array}\)
\({\small (1)}~x\) の平均値 \(\overline{x}\) と、\(y\) の平均値 \(\overline{y}\) を求めよ。
\({\small (2)}~x\) と \(y\) の分散は、次の表のようになる。\(x\) と \(y\) の相関係数 \(r\) を求めよ。
\(\begin{array}{c|c|c}
& 数学 & 国語 \\
\hline
分散 & 1.6 & 0.4
\end{array}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.198 練習問題A 1
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.194 Level Up 2
▼ より詳しい解説を開く
\({\small (1)}\)
数学の得点 \(x\) は、表の \(x\) の「計」の行より、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
人数 & 0 & 3 & 3 & 9 & 1 & 4 & 20
\end{array}\)
国語の得点 \(y\) は、表の \(y\) の「計」の列より、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
y & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
人数 & 4 & 12 & 4 & 20
\end{array}\)
これより、\(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,1 {\, \small \times \,} 3+2 {\, \small \times \,} 3+3 {\, \small \times \,} 9+4 {\, \small \times \,} 1+5 {\, \small \times \,} 4\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+6+27+4+20\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,3 {\, \small \times \,} 4+4 {\, \small \times \,} 12+5 {\, \small \times \,} 4\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12+48+20\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,80\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{x}=3~,~\overline{y}=4\) となる
\(x\) の標準偏差は、分散が \(1.6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,1.6\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) の標準偏差は、分散が \(0.4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_y&=&\sqrt{\,0.4\,}\end{eqnarray}\)
次に、人数が \(0\) でないすべての組について偏差の表をつくると、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
人数 & x & y & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 3 & 5 & 0 & +1 \\
3 & 5 & 5 & +2 & +1 \\
3 & 2 & 4 & -1 & 0 \\
7 & 3 & 4 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 4 & +1 & 0 \\
1 & 5 & 4 & +2 & 0 \\
3 & 1 & 3 & -2 & -1 \\
1 & 3 & 3 & 0 & -1
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=3\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=4\) を引いた値である。
これより、偏差の積と、人数をかけた値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c}
人数 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) & 人数 {\, \small \times \,} 偏差の積 \\
\hline
1 & 0 {\, \small \times \,} 1=0 & 0 \\
3 & 2 {\, \small \times \,} 1=2 & 6 \\
3 & (-1) {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
7 & 0 {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
1 & 1 {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
1 & 2 {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
3 & (-2) {\, \small \times \,} (-1)=2 & 6 \\
1 & 0 {\, \small \times \,} (-1)=0 & 0 \\
\hline
計 & & 12
\end{array}\)
よって、共分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~s_{xy}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&0.6\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,s_{xy}\,}{\,s_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,\sqrt{\,1.6\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,0.4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,\sqrt{\,1.6 {\, \small \times \,} 0.4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,\sqrt{\,0.64\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,0.8\,}
\\[5pt]~~~&=&0.75\end{eqnarray}\)
数学の得点 \(x\) は、表の \(x\) の「計」の行より、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
人数 & 0 & 3 & 3 & 9 & 1 & 4 & 20
\end{array}\)
国語の得点 \(y\) は、表の \(y\) の「計」の列より、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
y & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
人数 & 4 & 12 & 4 & 20
\end{array}\)
これより、\(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,1 {\, \small \times \,} 3+2 {\, \small \times \,} 3+3 {\, \small \times \,} 9+4 {\, \small \times \,} 1+5 {\, \small \times \,} 4\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+6+27+4+20\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,3 {\, \small \times \,} 4+4 {\, \small \times \,} 12+5 {\, \small \times \,} 4\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12+48+20\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,80\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{x}=3~,~\overline{y}=4\) となる
\({\small (2)}\)
\(x\) の標準偏差は、分散が \(1.6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_x&=&\sqrt{\,1.6\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) の標準偏差は、分散が \(0.4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~s_y&=&\sqrt{\,0.4\,}\end{eqnarray}\)
次に、人数が \(0\) でないすべての組について偏差の表をつくると、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
人数 & x & y & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 3 & 5 & 0 & +1 \\
3 & 5 & 5 & +2 & +1 \\
3 & 2 & 4 & -1 & 0 \\
7 & 3 & 4 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 4 & +1 & 0 \\
1 & 5 & 4 & +2 & 0 \\
3 & 1 & 3 & -2 & -1 \\
1 & 3 & 3 & 0 & -1
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=3\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=4\) を引いた値である。
これより、偏差の積と、人数をかけた値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c}
人数 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) & 人数 {\, \small \times \,} 偏差の積 \\
\hline
1 & 0 {\, \small \times \,} 1=0 & 0 \\
3 & 2 {\, \small \times \,} 1=2 & 6 \\
3 & (-1) {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
7 & 0 {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
1 & 1 {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
1 & 2 {\, \small \times \,} 0=0 & 0 \\
3 & (-2) {\, \small \times \,} (-1)=2 & 6 \\
1 & 0 {\, \small \times \,} (-1)=0 & 0 \\
\hline
計 & & 12
\end{array}\)
よって、共分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~s_{xy}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&0.6\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,s_{xy}\,}{\,s_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,\sqrt{\,1.6\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,0.4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,\sqrt{\,1.6 {\, \small \times \,} 0.4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,\sqrt{\,0.64\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.6\,}{\,0.8\,}
\\[5pt]~~~&=&0.75\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の表は、\(4\) 人の生徒 a、b、c、d の数学と英語の小テストの得点である。数学と英語の得点の相関係数を求めよ。
\(\begin{array}{c|cccc}
& {\rm a} & {\rm b} & {\rm c} & {\rm d} \\
\hline
数学 & 4 & 7 & 5 & 4 \\
\hline
英語 & 6 & 9 & 8 & 9
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|cccc}
& {\rm a} & {\rm b} & {\rm c} & {\rm d} \\
\hline
数学 & 4 & 7 & 5 & 4 \\
\hline
英語 & 6 & 9 & 8 & 9
\end{array}\)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.186 問2
▼ より詳しい解説を開く
データ \(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,4+7+5+4\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,20\,}{\,4\,}=5\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,6+9+8+9\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,4\,}=8\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
{\rm a} & 4 & 6 & -1 & -2 \\
{\rm b} & 7 & 9 & +2 & +1 \\
{\rm c} & 5 & 8 & 0 & 0 \\
{\rm d} & 4 & 9 & -1 & +1
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=5\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=8\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
{\rm a} & 1 & 4 & +2 \\
{\rm b} & 4 & 1 & +2 \\
{\rm c} & 0 & 0 & 0 \\
{\rm d} & 1 & 1 & -1 \\
\hline
計 & 6 & 6 & 3
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(0.5\)
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,6 {\, \small \times \,} 6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,4+7+5+4\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,20\,}{\,4\,}=5\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,6+9+8+9\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,4\,}=8\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
{\rm a} & 4 & 6 & -1 & -2 \\
{\rm b} & 7 & 9 & +2 & +1 \\
{\rm c} & 5 & 8 & 0 & 0 \\
{\rm d} & 4 & 9 & -1 & +1
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=5\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=8\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
{\rm a} & 1 & 4 & +2 \\
{\rm b} & 4 & 1 & +2 \\
{\rm c} & 0 & 0 & 0 \\
{\rm d} & 1 & 1 & -1 \\
\hline
計 & 6 & 6 & 3
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(0.5\)
【別解】
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,6 {\, \small \times \,} 6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07次の表は、ある店での \(4\) 日間における、\(1\) 日ごとの平均気温と \(1\) 日に売れたホットコーヒーの本数である。平均気温と売れたホットコーヒーの本数の相関係数 \(r\) を求めよ。
\(\begin{array}{c|cccc}
日にち & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
平均気温(℃) & 14 & 12 & 6 & 8 \\
\hline
コーヒー(本) & 45 & 75 & 85 & 55
\end{array}\)
\(\begin{array}{c|cccc}
日にち & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
平均気温(℃) & 14 & 12 & 6 & 8 \\
\hline
コーヒー(本) & 45 & 75 & 85 & 55
\end{array}\)
▼ より詳しい解説を開く
データ \(x\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,14+12+6+8\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,4\,}=10\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,45+75+85+55\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,260\,}{\,4\,}=65\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 14 & 45 & +4 & -20 \\
2 & 12 & 75 & +2 & +10 \\
3 & 6 & 85 & -4 & +20 \\
4 & 8 & 55 & -2 & -10
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=10\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=65\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
1 & 16 & 400 & -80 \\
2 & 4 & 100 & +20 \\
3 & 16 & 400 & -80 \\
4 & 4 & 100 & +20 \\
\hline
計 & 40 & 1000 & -120
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,4\,}=10\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,10\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,1000\,}{\,4\,}=250\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,250\,}=5\sqrt{\,10\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,4\,}=-30\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,\sqrt{\,10\,} {\, \small \times \,} 5\sqrt{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,5 \cdot 10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,50\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&-0.6\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(-0.6\)
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,\sqrt{\,40 {\, \small \times \,} 1000\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,\sqrt{\,40000\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,200\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=-0.6\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,14+12+6+8\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,4\,}=10\end{eqnarray}\)
データ \(y\) の平均値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,45+75+85+55\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,260\,}{\,4\,}=65\end{eqnarray}\)
これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
1 & 14 & 45 & +4 & -20 \\
2 & 12 & 75 & +2 & +10 \\
3 & 6 & 85 & -4 & +20 \\
4 & 8 & 55 & -2 & -10
\end{array}\)
※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=10\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=65\) を引いた値である。
次に、それぞれの偏差の2乗と偏差の積の値の表は、
\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
1 & 16 & 400 & -80 \\
2 & 4 & 100 & +20 \\
3 & 16 & 400 & -80 \\
4 & 4 & 100 & +20 \\
\hline
計 & 40 & 1000 & -120
\end{array}\)
よって、
\(x\) の分散は、
\({s_x}^2=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,4\,}=10\)、標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,10\,}\)
\(y\) の分散は、
\({s_y}^2=\displaystyle \frac{\,1000\,}{\,4\,}=250\)、標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,250\,}=5\sqrt{\,10\,}\)
共分散は、\(s_{xy}=\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,4\,}=-30\)
相関係数は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,\sqrt{\,10\,} {\, \small \times \,} 5\sqrt{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,5 \cdot 10\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-30\,}{\,50\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&-0.6\end{eqnarray}\)
したがって、相関係数は \(-0.6\)
【別解】
相関係数は、それぞれの偏差の2乗の和と偏差の積の和を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,\sqrt{\,40 {\, \small \times \,} 1000\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,\sqrt{\,40000\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-120\,}{\,200\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=-0.6\end{eqnarray}\)
