このページは、「仮説検定による判断」の練習問題アーカイブページとなります。
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仮説検定による判断 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ある地域の水道局が、水道水の品質改善に取り組んでいる。無作為に選んだ地域の住民 \(20\) 人に以前に比べて水道水がおいしくなったと思うかを回答してもらったところ、\(15\) 人が以前よりおいしくなったと回答した。この回答のデータから、地域の住民全体において、以前に比べて水道水がおいしくなったと思う住民の方が多いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い、基準となる確率を \(5\) ％として考察せよ。ただし、公正な \(1\) 枚のコインを \(20\) 回投げて表の出た回数を記録する実験を \(1000\) セット行ったところ次の表のようになったとし、この結果を用いよ。
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
表の回数 & \cdots & 14 & 15 & 16 & 17 & 計 \\
\hline
度数 & \cdots & 38 & 9 & 5 & 1 & 1000
\end{array}\)
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.205 練習17
おいしくなったという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
水道水がおいしくなったといえず、アンケートでおいしくなったと回答する確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、
コインを投げる実験の結果より、コインを \(20\) 回投げて表が \(15\) 回以上出る場合の相対度数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,9+5+1\,}{\,1000\,}&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,1000\,}\\[5pt]~~~&=&0.015\end{eqnarray}\)
これより、
仮説 \({\small [\,2\,]}\) のもとで \(15\) 人以上がおいしくなったと回答する確率が \(0.015\) 程度と考えられる
これは、基準となる確率 \(0.05\) より小さいので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却される
確率が基準より小さいので、偶然に起こったことではないので、実際においしくなっていると考える。
したがって、主張は正しいと判断してよいので水道水がおいしくなったと思う住民の方が多いと判断してよい
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02ある文具メーカーが、販売中のはさみ A を改良し、新製品 B を開発した。モニターに A、B のどちらが使いやすいと思うかを回答してもらったところ、\(25\) 人中 \(18\) 人が、B の方が使いやすいと回答した。このデータから、消費者全体において、B は A より使いやすいと思う人の方が多いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い、次の \({\small (1)}\)、\({\small (2)}\) の場合において考察せよ。ただし、公正なコイン \(25\) 枚を投げて表の出た枚数を記録する実験を \(800\) 回行ったところ次の表のようになったとし、この結果を用いよ。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
表の枚数 & \cdots & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 計 \\
\hline
度数 & \cdots & 28 & 12 & 4 & 0 & 1 & 800
\end{array}\)
\({\small (1)}~\) 基準となる確率 \(5\) ％
\({\small (2)}~\) 基準となる確率 \(1\) ％
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.207 問題 3
B の方が使いやすいという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
B の方が使いやすいといえず、アンケートで B の方が使いやすいと回答する確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、
コインを投げる実験の結果より、コイン \(25\) 枚を投げて表が \(18\) 枚以上出る場合の相対度数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,12+4+0+1\,}{\,800\,}&=&\displaystyle \frac{\,17\,}{\,800\,}\\[5pt]~~~&=&0.02125\end{eqnarray}\)
これより、
仮説 \({\small [\,2\,]}\) のもとで \(18\) 人以上が B の方が使いやすいと回答する確率が \(0.02125\) 程度と考えられる
\({\small (1)}~\)
これは、基準となる確率 \(0.05\) 以下になるので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却される
確率が基準より小さいので、偶然に起こったことではないので、実際に B の方が使いやすいと考える。
したがって、
主張は正しいと判断してよいので B は A より使いやすいと思う人の方が多いと判断してよい
\({\small (2)}~\)
基準となる確率が \(0.01\) のとき、
\(0.02125\) はこれより大きいので仮説 \({\small [\,2\,]}\) を棄却できない
確率が基準より大きいので、これは十分に起こりうる。よって、実際に B の方が使いやすいとはいえない。
したがって、
主張は正しいと判断できないので B は A より使いやすいと思う人の方が多いとは判断できない
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03ある地域の水道局が、水道水の品質改善に取り組んでいる。無作為に選んだ地域の住民 \(20\) 人に以前に比べて水道水がおいしくなったと思うかを回答してもらったところ、\(14\) 人が以前よりおいしくなったと回答した。この回答のデータから、地域の住民全体において、以前に比べて水道水がおいしくなったと思う住民の方が多いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い、基準となる確率を \(5\) ％として考察せよ。ただし、公正な \(1\) 枚のコインを \(20\) 回投げて表の出た回数を記録する実験を \(1000\) セット行ったところ、次の表のようになったとし、この結果を用いよ。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
表の回数 & \cdots & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 計 \\
\hline
度数 & \cdots & 85 & 30 & 7 & 6 & 1 & 1000
\end{array}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.198 練習16
おいしくなったという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
水道水がおいしくなったといえず、アンケートでおいしくなったと回答する確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、
コインを投げる実験の結果より、コインを \(20\) 回投げて表が \(14\) 回以上出る場合の相対度数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,30+7+6+1\,}{\,1000\,}&=&\displaystyle \frac{\,44\,}{\,1000\,}\\[5pt]~~~&=&0.044\end{eqnarray}\)
これより、
仮説 \({\small [\,2\,]}\) のもとで \(14\) 人以上がおいしくなったと回答する確率が \(0.044\) 程度と考えられる
これは、基準となる確率 \(0.05\) より小さいので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却される
確率が基準より小さいので、偶然に起こったことではないので、実際においしくなっていると考える。
したがって、主張は正しいと判断してよいので水道水がおいしくなったと思う住民の方が多いと判断してよい
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04ある種子 A の発芽する確率は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) である。種子 A を改良した種子 B について、発芽試験を行ったところ、\(30\) 個の種子のうち、\(25\) 個が発芽した。この結果から種子 B は A に比べ、発芽する確率が高いと判断できるかを仮説検定の考え方を用いて考察したい。
\({\small (1)}~\) 「種子 B が発芽する確率は種子 A と変わらない」という仮説のもとで \(30\) 個中 \(25\) 個以上が発芽する確率を実験を通して考える。このとき、次の実験を用いることが適切でない理由を述べよ。
公正なコインを \(30\) 枚投げて表が出た枚数の記録を \(1000\) 回行う。
\({\small (2)}~\) 公正なさいころを \(30\) 個投げて \(3\) 以上の目が出る個数を記録する実験を \(1000\) 回行ったところ下の表のようになった。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
3以上の目が出た個数 & \cdots & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 計 \\
\hline
度数 & \cdots & 40 & 25 & 9 & 1 & 1 & 1000
\end{array}\)
基準となる確率を \(5\) ％とするとき、種子 B の発芽する確率は A に比べ高いと判断してよいかをこの実験結果を用いて考察せよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.202 章末問題B 6
\({\small (1)}~\)
コインを投げて表が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるが、種子 A の発芽する確率は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) である。
したがって、
コイン投げでは発芽する確率 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) を再現できないので適切でない
\({\small (2)}~\)
さいころで \(3\) 以上の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) であり、
種子 A の発芽する確率 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) と一致する。
発芽する確率が高いという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
種子 B が発芽する確率は種子 A と変わらず \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、
さいころを投げる実験の結果より、さいころ \(30\) 個を投げて \(3\) 以上の目が \(25\) 個以上出る場合の相対度数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,25+9+1+1\,}{\,1000\,}&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,1000\,}\\[5pt]~~~&=&0.036\end{eqnarray}\)
これより、
仮説 \({\small [\,2\,]}\) のもとで \(30\) 個中 \(25\) 個以上が発芽する確率が \(0.036\) 程度と考えられる
これは、基準となる確率 \(0.05\) 以下になるので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却される
確率が基準より小さいので、偶然に起こったことではないので、実際に発芽する確率が高いと考える。
したがって、
主張は正しいと判断してよいので種子 B の発芽する確率は A に比べ高いと判断してよい
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05ボールペンを製造している会社が、すでに販売しているボールペン A を改良して新製品 B を開発した。無作為に選んだ \(30\) 人に \(2\) つのボールペン A、B を使ってもらい、どちらが書きやすいと思うかを回答してもらったところ、\(30\) 人中 \(20\) 人が B と回答した。この回答のデータから、消費者全体において、B が書きやすいと思う人の方が多いと判断できるか、基準となる確率を \(5\) ％として考察せよ。ただし、公正な \(1\) 枚のコインを \(30\) 回投げることを \(1\) セットとし、\(1\) セットで表が出た回数を記録する実験を \(1000\) セット繰り返したところ次の表のようになったとし、この結果を用いよ。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
表の回数 & \cdots & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 計 \\
\hline
度数 & \cdots & 66 & 22 & 12 & 5 & 3 & 1000
\end{array}\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.196 練習16
B が書きやすいという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
A が書きやすいと思う人の割合と、B が書きやすいと思う人の割合は等しく、B と回答する確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、
コインを投げる実験の結果より、コインを \(30\) 回投げて表が \(20\) 回以上出る場合の相対度数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,22+12+5+3\,}{\,1000\,}&=&\displaystyle \frac{\,42\,}{\,1000\,}\\[5pt]~~~&=&0.042\end{eqnarray}\)
これより、
仮説 \({\small [\,2\,]}\) のもとで \(20\) 人以上が B と回答する確率が \(0.042\) 程度と考えられる
これは、基準となる確率 \(0.05\) 以下になるので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却される
確率が基準より小さいので、偶然に起こったことではないので、実際に B が書きやすいと考える。
したがって、
主張は正しいと判断してよいので B が書きやすいと思う人の方が多いと判断してよい
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06ある地域の水道局が、水道水の品質改善に取り組んでいる。無作為に選んだ地域の住民 \(20\) 人に、以前に比べて水道水がおいしくなったと思うかを回答してもらったところ、\(15\) 人が以前よりおいしくなったと回答した。この回答のデータから、地域の住民全体において、以前に比べて水道水がおいしくなったと思う住民の方が多いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い、基準となる確率を \(5\) ％として考察せよ。ただし、公正な \(1\) 枚のコインを \(20\) 回投げて表の出た回数を記録する実験を \(1000\) セット行ったところ次の表のようになったとし、この結果を用いよ。
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
表の回数 & \cdots & 14 & 15 & 16 & 17 & 計 \\
\hline
度数 & \cdots & 34 & 7 & 6 & 1 & 1000
\end{array}\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.198 章末問題A 3
おいしくなったという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
水道水がおいしくなったといえず、アンケートでおいしくなったと回答する確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、
コインを投げる実験の結果より、コインを \(20\) 回投げて表が \(15\) 回以上出る場合の相対度数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7+6+1\,}{\,1000\,}&=&\displaystyle \frac{\,14\,}{\,1000\,}\\[5pt]~~~&=&0.014\end{eqnarray}\)
これより、
仮説 \({\small [\,2\,]}\) のもとで \(15\) 人以上がおいしくなったと回答する確率が \(0.014\) 程度と考えられる
これは、基準となる確率 \(0.05\) 以下になるので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却される
確率が基準より小さいので、偶然に起こったことではないので、実際においしくなっていると考える。
したがって、
主張は正しいと判断してよいので水道水がおいしくなったと思う住民の方が多いと判断してよい
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07ある人が、紅茶にミルクを注いだミルクティーとミルクに紅茶を注いだミルクティーの、味の違いが分かると主張した。そこで、どちらを先に注いだか分からないようにしたミルクティー \(30\) 杯について、どちらが先か当ててもらうと、そのうち \(21\) 杯で正しい回答をした。この結果から、味の違いが分かるという主張は正しいと判断できるだろうか。ただし、公正な \(1\) 枚のコインを \(30\) 回投げることを \(1\) セットとし、コンピュータを用いて \(10000\) セット繰り返したところ次の表のようになったとし、基準となる確率を \(5\) ％として考察せよ。
\(\begin{array}{c|ccccccc|c}
表の回数 & \cdots & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 計 \\
\hline
度数 & \cdots & 311 & 147 & 53 & 13 & 1 & 2 & 10000
\end{array}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.196 問1
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.192 問1
味の違いが分かるという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
味の違いが分からず、正しく回答する確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、
コインを投げる実験の結果より、コインを \(30\) 回投げて表が \(21\) 回以上出る場合の相対度数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,147+53+13+1+2\,}{\,10000\,}&=&\displaystyle \frac{\,216\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&0.0216\end{eqnarray}\)
これより、
仮説 \({\small [\,2\,]}\) のもとで \(30\) 杯中 \(21\) 杯以上正しく回答する確率が \(0.0216\) 程度と考えられる
これは、基準となる確率 \(0.05\) 以下になるので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却される
確率が基準より小さいので、偶然に起こったことではないので、実際に味の違いが分かると考える。
したがって、
主張は正しいと判断してよいので味の違いが分かると判断してよい
