- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「複素数の除法」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の除法
複素数と方程式 07\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,i\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,13i\,}{\,2-3i\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
複素数の除法
Point：複素数の除法
\(\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}\)
① 分母分子に分母の共役な複素数を掛けて、分母を虚数単位 \(i\) を含まない値にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2+i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+4i\,}{\,4+1\,}\end{eqnarray}\)
② 答えは、実部と虚部に分けて \(a+bi\) の形にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}i\end{eqnarray}\)
複素数の除法は、
\(\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}\)
① 分母分子に分母の共役な複素数を掛けて、分母を虚数単位 \(i\) を含まない値にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2+i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+4i\,}{\,4+1\,}\end{eqnarray}\)
② 答えは、実部と虚部に分けて \(a+bi\) の形にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}i\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜複素数の除法
複素数と方程式 07
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,i\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,13i\,}{\,2-3i\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
分母分子に \(i\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,i\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,i\,}{\,i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3i\,}{\,i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3i\,}{\,-1\,}\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[5pt]~~~&=&-3i\end{eqnarray}\)
分母分子に分母の \(2-3i\) の共役な複素数 \(2+3i\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,13i\,}{\,2-3i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13i\,}{\,2-3i\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2+3i\,}{\,2+3i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13i(2+3i)\,}{\,(2-3i)(2+3i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13i(2+3i)\,}{\,4-9i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13i(2+3i)\,}{\,4-9\cdot(-1)\,}\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13i(2+3i)\,}{\,4+9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13i(2+3i)\,}{\,13\,}
\\[5pt]~~~&=&i(2+3i)
\\[3pt]~~~&=&2i+3i^2
\\[3pt]~~~&=&2i+3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&-3+2i\end{eqnarray}\)
分母分子に分母の \(2-i\) の共役な複素数 \(2+i\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2+i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2+i)(2+i)\,}{\,(2-i)(2+i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+4i+i^2\,}{\,4-i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+4i-1\,}{\,4-(-1)\,}\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+4i\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}i\end{eqnarray}\)
