- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「3次方程式の1つの虚数解と係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜3次方程式の1つの虚数解と係数
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
3次方程式の1つの虚数解と係数
3次方程式 \(x^3-3x^2+ax+b=0\) の1つの虚数解 \(1-2i\) をもつとき、
① 虚数解の共役な複素数も解にもつことより、2次式の因数を求める。
\(1+2i\) も解にもつので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{x-(1-2i)\right\}\left\{x-(1+2i)\right\}
\\[3pt]~~~&=&x^2-2x+5\end{eqnarray}\)
② 他の解を \(x=c\) として、因数定理より \(x\) の恒等式を立てる。
\(x^3-3x^2+ax+b=(x^2-2x+5)(x-c)\)
③ 右辺を展開して係数比較することで \(a~,~b\) の値と他の解 \(x=c\) を求める。
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詳しい解説｜3次方程式の1つの虚数解と係数
3次方程式 \(x^3-3x^2+ax+b=0\) の解の1つが \(1-2i\) であるとき、実数の定数 \(a~,~b\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(P(x)=x^3-3x^2+ax+b\) とおくと、
\(P(x)=0\) が虚数解 \(1-2i\) をもつので、その共役複素数 \(1+2i\) も解にもつ
これより、この2数の和と積は、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)+(1+2i)&=&1+1-2i+2i
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)(1+2i)&=&1-4i^2
\\[3pt]~~~&=&1+4
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)
解と係数の関係より、2次式 \(x^2-2x+5\) が \(P(x)\) の因数となる
また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、
\(x^3-3x^2+ax+b=(x^2-2x+5)(x-c)\)
右辺を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-2x+5)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+5x-5c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+5)x-5c\end{eqnarray}\)
左辺と係数比較すると、
\(\left\{~\begin{array}{l}3=c+2~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\a=2c+5~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-5c~~~\hspace{11pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3&=&c+2
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2\cdot 1+5
\\[3pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-5\cdot c
\\[3pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=7~,~b=-5\)、他の解 \(1+2i~,~1\) となる
別解①｜教科書の解法
① 虚数解を代入して、複素数の相等より、\(a~,~b\) の値を求める。
② 3次方程式に \(a~,~b\) の値を代入し、3次方程式を解くことで他の解を求める。
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\(x=1-2i\) を解にもつので、代入すると、
ここで、\((1-2i)^2\) と \((1-2i)^3\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)^2&=&1-4i+4i^2
\\[3pt]~~~&=&1-4i-4
\\[3pt]~~~&=&-3-4i\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)^3&=&(1-2i)^2(1-2i)
\\[3pt]~~~&=&(-3-4i)(1-2i)
\\[3pt]~~~&=&-3+6i-4i+8i^2
\\[3pt]~~~&=&-3+2i-8
\\[3pt]~~~&=&-11+2i\end{eqnarray}\)
これらを代入すると、
\\[3pt]~~~-11+2i+9+12i+a-2ai+b&=&0
\\[3pt]~~~(a+b-2)+(-2a+14)i&=&0\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、
\(\left\{~\begin{array}{l}a+b-2=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-2a+14=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2a+14&=&0
\\[3pt]~~~-2a&=&-14
\\[3pt]~~~a&=&7\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7+b-2&=&0
\\[3pt]~~~b&=&-5\end{eqnarray}\)
よって、3次方程式は \(x^3-3x^2+7x-5=0\) となる
\(P(x)=x^3-3x^2+7x-5\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-3\cdot 1^2+7\cdot 1-5
\\[3pt]~~~&=&1-3+7-5
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \(x-1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2-2x+5\hspace{28pt}
\\x-1~)~\overline{x^3-3x^2+7x-5}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-x^2\phantom{+7x-5}~~~~}
\\[3pt]-2x^2+7x-5
\\[3pt]\underline{-~)~{-2x^2+2x}\phantom{-5}~}
\\[3pt]5x-5
\\[3pt]\underline{-~)~5x-5}
\\[3pt]0\end{array}\)
商が \(x^2-2x+5\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x-1)(x^2-2x+5)\)
\(P(x)=0\) となる解は、
\(x-1=0\) より \(x=1\)
\(x^2-2x+5=0\) の解の公式より、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2\cdot(-1)x+5=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-1\cdot 5}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\pm\sqrt{1-5}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{-4}
\\[3pt]~~~&=&1\pm 2i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=7~,~b=-5\)、他の解 \(1+2i~,~1\) となる
別解②｜教科書の別解
① 虚数解の共役な複素数も解にもつことより、2次式の因数を求める。
\(1+2i\) も解にもつので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{x-(1-2i)\right\}\left\{x-(1+2i)\right\}
\\[3pt]~~~&=&x^2-2x+5\end{eqnarray}\)
② \(P(x)\) を \(x^2-2x+5\) で割り、余りが \(0\) となることより、\(a~,~b\) の値を求める。
③ 割り算の商より、他の解を求める。
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\(P(x)=x^3-3x^2+ax+b\) とおくと、
\(P(x)=0\) が虚数解 \(1-2i\) をもつので、その共役複素数 \(1+2i\) も解にもつ
これより、
\\[3pt]~~~&=&x^2-\left\{(1-2i)+(1+2i)\right\}x+(1-2i)(1+2i)
\\[3pt]~~~&=&x^2-2x+1-4i^2
\\[3pt]~~~&=&x^2-2x+1+4
\\[3pt]~~~&=&x^2-2x+5\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x^2-2x+5\) で割り切れるので、
\(\begin{array}{rr}x-1\hspace{53pt}~~\hspace{20pt}
\\x^2-2x+5~)~\overline{x^3-3x^2+ax+b~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-2x^2+5x\phantom{+b}~~~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]-x^2+(a-5)x+b~~
\\[3pt]\underline{-~)~{-x^2~~~~~~+2x~~~-5}~~}
\\[3pt](a-7)x+b+5\end{array}\)
余りが \(0\) となることより、
\(\left\{~\begin{array}{l}a-7=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\b+5=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=7\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=-5\)
また、商が \(x-1\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x^2-2x+5)(x-1)\)
よって、\(P(x)=0\) の解は、
\(x=1\pm 2i~,~1\)
したがって、
\(a=7~,~b=-5\)、他の解 \(1+2i~,~1\) となる
