3次方程式の1つの虚数解と係数

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.64 練習31

【教科書の解法】

---

\(x=1-2i\) を解にもつので、代入すると、

---

---

ここで、\((1-2i)^2\) と \((1-2i)^3\) を計算すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)^2&=&1-4i+4i^2
\\[3pt]~~~&=&1-4i-4
\\[3pt]~~~&=&-3-4i\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)^3&=&(1-2i)^2(1-2i)
\\[3pt]~~~&=&(-3-4i)(1-2i)
\\[3pt]~~~&=&-3+6i-4i+8i^2
\\[3pt]~~~&=&-3+2i-8
\\[3pt]~~~&=&-11+2i\end{eqnarray}\)

---

これらを代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(-11+2i)+a(1-2i)+b&=&0
\\[3pt]~~~-11+2i+a-2ai+b&=&0
\\[3pt]~~~(a+b-11)+(-2a+2)i&=&0\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}a+b-11=0~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-2a+2=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2a+2&=&0
\\[3pt]~~~-2a&=&-2
\\[3pt]~~~a&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~1+b-11&=&0
\\[3pt]~~~b&=&10\end{eqnarray}\)

---

よって、3次方程式は \(x^3+x+10=0\) となる

---

\(P(x)=x^3+x+10\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(-2)&=&(-2)^3+(-2)+10
\\[3pt]~~~&=&-8-2+10
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(P(x)\) は \(x+2\) を因数にもつ

---

\(P(x)\) を \(x+2\) で割ると、

---

\(\begin{array}{rr}x^2-2x+5\hspace{20pt}
\\x+2~)~\overline{x^3~~~~~~~~~+x+10}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3+2x^2\phantom{+x+10}}
\\[3pt]-2x^2+x+10
\\[3pt]\underline{-~)~{-2x^2-4x}\phantom{+10}}
\\[3pt]5x+10
\\[3pt]\underline{-~)~5x+10}
\\[3pt]0\end{array}\)

---

商が \(x^2-2x+5\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x+2)(x^2-2x+5)\)

---

\(P(x)=0\) となる解は、

---

　\(x+2=0\) より \(x=-2\)

---

\(x^2-2x+5=0\) の解の公式より、

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-1\cdot 5}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\pm\sqrt{1-5}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{-4}
\\[3pt]~~~&=&1\pm 2i\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=1~,~b=10\)、他の解 \(1+2i~,~-2\) となる

 
 

【おすすめ別解】

---

\(P(x)=x^3+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1-2i\) をもつので、その共役複素数 \(1+2i\) も解にもつ

---

これより、この2数の和と積は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)+(1+2i)&=&1+1-2i+2i
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)(1+2i)&=&1-4i^2
\\[3pt]~~~&=&1+4
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)

---

解と係数の関係より、2次式 \(x^2-2x+5\) が \(P(x)\) の因数となる

---

また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、

---

　\(x^3+ax+b=(x^2-2x+5)(x-c)\)

---

右辺を展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-2x+5)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+5x-5c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+5)x-5c\end{eqnarray}\)

---

左辺と係数比較すると、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}0=c+2~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\a=2c+5~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-5c~~~\hspace{11pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~0&=&c+2
\\[3pt]~~~c&=&-2\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2\cdot (-2)+5
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-5\cdot (-2)
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=1~,~b=10\)、他の解 \(1+2i~,~-2\) となる

 
 

【別解その②】

---

\(P(x)=x^3+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1-2i\) をもつので、その共役複素数 \(1+2i\) も解にもつ

---

これより、

---

---

よって、\(P(x)\) は \(x^2-2x+5\) で割り切れるので、

---

\(\begin{array}{rr}x+2\hspace{53pt}~~\hspace{20pt}
\\x^2-2x+5~)~\overline{x^3~~~~~~~~~~~+ax+b~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-2x^2+5x\phantom{+b}~~~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]2x^2+(a-5)x+b
\\[3pt]\underline{-~)~{2x^2~~~~~~~~-4x+10}}
\\[3pt](a-1)x+b-10\end{array}\)

---

余りが \(0\) となることより、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}a-1=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\b-10=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=1\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=10\)

---

また、商が \(x+2\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x^2-2x+5)(x+2)\)

---

よって、\(P(x)=0\) の解は、

---

　\(x=1\pm 2i~,~-2\)

---

したがって、

---

　\(a=1~,~b=10\)、他の解 \(1+2i~,~-2\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.62 練習30
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.61 練習28

【教科書の解法】

---

\(x=1+i\) を解にもつので、代入すると、

---

---

ここで、\((1+i)^2\) と \((1+i)^3\) を計算すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+i)^2&=&1+2i+i^2
\\[3pt]~~~&=&1+2i-1
\\[3pt]~~~&=&2i\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+i)^3&=&(1+i)^2(1+i)
\\[3pt]~~~&=&2i(1+i)
\\[3pt]~~~&=&2i+2i^2
\\[3pt]~~~&=&-2+2i\end{eqnarray}\)

---

これらを代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(-2+2i)+2i+a(1+i)+b&=&0
\\[3pt]~~~-2+2i+2i+a+ai+b&=&0
\\[3pt]~~~(-2+a+b)+(4+a)i&=&0\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}-2+a+b=0~\cdots{\small [\,1\,]}
\\4+a=0~~~~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~4+a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-4\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2+(-4)+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&6\end{eqnarray}\)

---

よって、3次方程式は \(x^3+x^2-4x+6=0\) となる

---

\(P(x)=x^3+x^2-4x+6\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(-3)&=&(-3)^3+(-3)^2-4\cdot(-3)+6
\\[3pt]~~~&=&-27+9+12+6
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(P(x)\) は \(x+3\) を因数にもつ

---

\(P(x)\) を \(x+3\) で割ると、

---

\(\begin{array}{rr}x^2-2x+2\hspace{20pt}
\\x+3~)~\overline{x^3+x^2-4x+6}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3+3x^2\phantom{-4x+6}}
\\[3pt]-2x^2-4x+6
\\[3pt]\underline{-~)~{-2x^2-6x}\phantom{+6}~}
\\[3pt]2x+6
\\[3pt]\underline{-~)~2x+6}
\\[3pt]0\end{array}\)

---

商が \(x^2-2x+2\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x+3)(x^2-2x+2)\)

---

\(P(x)=0\) となる解は、

---

　\(x+3=0\) より \(x=-3\)

---

\(x^2-2x+2=0\) の解の公式より、

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-1\cdot 2}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\pm\sqrt{1-2}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{-1}
\\[3pt]~~~&=&1\pm i\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-4~,~b=6\)、他の解 \(1-i~,~-3\) となる

 
 

【おすすめ別解】

---

\(P(x)=x^3+x^2+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1+i\) をもつので、その共役複素数 \(1-i\) も解にもつ

---

これより、この2数の和と積は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+i)+(1-i)&=&1+1+i-i
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+i)(1-i)&=&1-i^2
\\[3pt]~~~&=&1+1
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

---

解と係数の関係より、2次式 \(x^2-2x+2\) が \(P(x)\) の因数となる

---

また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、

---

　\(x^3+x^2+ax+b=(x^2-2x+2)(x-c)\)

---

右辺を展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-2x+2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+2x-2c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+2)x-2c\end{eqnarray}\)

---

左辺と係数比較すると、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}1=-(c+2)~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\a=2c+2~~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-2c~~~~~~~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~1&=&-(c+2)
\\[3pt]~~~c+2&=&-1
\\[3pt]~~~c&=&-3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2\cdot (-3)+2
\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-2\cdot (-3)
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-4~,~b=6\)、他の解 \(1-i~,~-3\) となる

 
 

【別解その②】

---

\(P(x)=x^3+x^2+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1+i\) をもつので、その共役複素数 \(1-i\) も解にもつ

---

これより、

---

---

よって、\(P(x)\) は \(x^2-2x+2\) で割り切れるので、

---

\(\begin{array}{rr}x+3\hspace{46pt}~~\hspace{20pt}
\\x^2-2x+2~)~\overline{x^3+x^2+ax+b~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-2x^2+2x\phantom{+b}~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]3x^2+(a-2)x+b
\\[3pt]\underline{-~)~{3x^2~~~~~~~~~-6x+6}}
\\[3pt](a+4)x+b-6\end{array}\)

---

余りが \(0\) となることより、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}a+4=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\b-6=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=-4\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=6\)

---

また、商が \(x+3\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x^2-2x+2)(x+3)\)

---

よって、\(P(x)=0\) の解は、

---

　\(x=1\pm i~,~-3\)

---

したがって、

---

　\(a=-4~,~b=6\)、他の解 \(1-i~,~-3\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.65 章末問題A 3

【教科書の解法】

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\(x=2+i\) を解にもつので、代入すると、

---

---

ここで、\((2+i)^2\) と \((2+i)^3\) を計算すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2+i)^2&=&4+4i+i^2
\\[3pt]~~~&=&4+4i-1
\\[3pt]~~~&=&3+4i\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2+i)^3&=&(2+i)^2(2+i)
\\[3pt]~~~&=&(3+4i)(2+i)
\\[3pt]~~~&=&6+3i+8i+4i^2
\\[3pt]~~~&=&6+11i-4
\\[3pt]~~~&=&2+11i\end{eqnarray}\)

---

これらを代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2+11i)+a(3+4i)+b(2+i)+5&=&0
\\[3pt]~~~2+11i+3a+4ai+2b+bi+5&=&0
\\[3pt]~~~(7+3a+2b)+(11+4a+b)i&=&0\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}7+3a+2b=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\11+4a+b=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~11+4a+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&-4a-11~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~7+3a+2(-4a-11)&=&0
\\[3pt]~~~7+3a-8a-22&=&0
\\[3pt]~~~-5a-15&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-4\cdot(-3)-11
\\[3pt]~~~&=&12-11
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

よって、3次方程式は \(x^3-3x^2+x+5=0\) となる

---

\(P(x)=x^3-3x^2+x+5\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)&=&(-1)^3-3\cdot(-1)^2+(-1)+5
\\[3pt]~~~&=&-1-3-1+5
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(P(x)\) は \(x+1\) を因数にもつ

---

\(P(x)\) を \(x+1\) で割ると、

---

\(\begin{array}{rr}x^2-4x+5\hspace{23pt}
\\x+1~)~\overline{x^3-3x^2+x+5}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3+x^2\phantom{+x+5}~~~~}
\\[3pt]-4x^2+x+5
\\[3pt]\underline{-~)~{-4x^2-4x}\phantom{+5}}
\\[3pt]5x+5
\\[3pt]\underline{-~)~5x+5}
\\[3pt]0\end{array}\)

---

商が \(x^2-4x+5\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x+1)(x^2-4x+5)\)

---

\(P(x)=0\) となる解は、

---

　\(x+1=0\) より \(x=-1\)

---

\(x^2-4x+5=0\) の解の公式より、

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-1\cdot 5}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm\sqrt{4-5}
\\[3pt]~~~&=&2\pm\sqrt{-1}
\\[3pt]~~~&=&2\pm i\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-3~,~b=1\)、他の解 \(2-i~,~-1\) となる

---

---

【おすすめ別解】

---

\(P(x)=x^3+ax^2+bx+5\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(2+i\) をもつので、その共役複素数 \(2-i\) も解にもつ

---

これより、この2数の和と積は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2+i)+(2-i)&=&2+2+i-i
\\[3pt]~~~&=&4
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2+i)(2-i)&=&4-i^2
\\[3pt]~~~&=&4+1
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)

---

解と係数の関係より、2次式 \(x^2-4x+5\) が \(P(x)\) の因数となる

---

また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、

---

　\(x^3+ax^2+bx+5=(x^2-4x+5)(x-c)\)

---

右辺を展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-4x+5)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-4x^2+4cx+5x-5c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+4)x^2+(4c+5)x-5c\end{eqnarray}\)

---

左辺と係数比較すると、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}a=-(c+4)~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\b=4c+5~~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\5=-5c~~~~~~~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~5&=&-5c
\\[3pt]~~~c&=&-1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&-(-1+4)
\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&4\cdot(-1)+5
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-3~,~b=1\)、他の解 \(2-i~,~-1\) となる

---

---

【別解その②】

---

\(P(x)=x^3+ax^2+bx+5\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(2+i\) をもつので、その共役複素数 \(2-i\) も解にもつ

---

これより、

---

---

よって、\(P(x)\) は \(x^2-4x+5\) で割り切れるので、

---

---

余りが \(0\) となることより、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}b+4a+11=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-5a-15=0~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-5a-15&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b+4\cdot(-3)+11&=&0
\\[3pt]~~~b-1&=&0
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)

---

また、商が \(x+(a+4)=x+(-3+4)=x+1\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x^2-4x+5)(x+1)\)

---

よって、\(P(x)=0\) の解は、

---

　\(x=2\pm i~,~-1\)

---

したがって、

---

　\(a=-3~,~b=1\)、他の解 \(2-i~,~-1\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.43 問14

【教科書の解法】

---

\(x=2-i\) を解にもつので、代入すると、

---

---

ここで、\((2-i)^2\) と \((2-i)^3\) を計算すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2-i)^2&=&4-4i+i^2
\\[3pt]~~~&=&4-4i-1
\\[3pt]~~~&=&3-4i\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2-i)^3&=&(2-i)^2(2-i)
\\[3pt]~~~&=&(3-4i)(2-i)
\\[3pt]~~~&=&6-3i-8i+4i^2
\\[3pt]~~~&=&6-11i-4
\\[3pt]~~~&=&2-11i\end{eqnarray}\)

---

これらを代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2-11i)+a(3-4i)+b(2-i)-5&=&0
\\[3pt]~~~2-11i+3a-4ai+2b-bi-5&=&0
\\[3pt]~~~(3a+2b-3)+(-4a-b-11)i&=&0\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}3a+2b-3=0~~~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-4a-b-11=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-4a-b-11&=&0
\\[3pt]~~~b&=&-4a-11~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~3a+2(-4a-11)-3&=&0
\\[3pt]~~~3a-8a-22-3&=&0
\\[3pt]~~~-5a-25&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-5\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-4\cdot(-5)-11
\\[3pt]~~~&=&20-11
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)

---

よって、3次方程式は \(x^3-5x^2+9x-5=0\) となる

---

\(P(x)=x^3-5x^2+9x-5\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-5\cdot 1^2+9\cdot 1-5
\\[3pt]~~~&=&1-5+9-5
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもつ

---

\(P(x)\) を \(x-1\) で割ると、

---

\(\begin{array}{rr}x^2-4x+5\hspace{28pt}
\\x-1~)~\overline{x^3-5x^2+9x-5}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-x^2\phantom{+9x-5}~~~~}
\\[3pt]-4x^2+9x-5
\\[3pt]\underline{-~)~{-4x^2+4x}\phantom{-5}~}
\\[3pt]5x-5
\\[3pt]\underline{-~)~5x-5}
\\[3pt]0\end{array}\)

---

商が \(x^2-4x+5\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x-1)(x^2-4x+5)\)

---

\(P(x)=0\) となる解は、

---

　\(x-1=0\) より \(x=1\)

---

\(x^2-4x+5=0\) の解の公式より、

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-1\cdot 5}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm\sqrt{4-5}
\\[3pt]~~~&=&2\pm\sqrt{-1}
\\[3pt]~~~&=&2\pm i\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-5~,~b=9\)、他の解 \(2+i~,~1\) となる

 
 

【おすすめ別解】

---

\(P(x)=x^3+ax^2+bx-5\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(2-i\) をもつので、その共役複素数 \(2+i\) も解にもつ

---

これより、この2数の和と積は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2-i)+(2+i)&=&2+2-i+i
\\[3pt]~~~&=&4
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2-i)(2+i)&=&4-i^2
\\[3pt]~~~&=&4+1
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)

---

解と係数の関係より、2次式 \(x^2-4x+5\) が \(P(x)\) の因数となる

---

また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、

---

　\(x^3+ax^2+bx-5=(x^2-4x+5)(x-c)\)

---

右辺を展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-4x+5)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-4x^2+4cx+5x-5c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+4)x^2+(4c+5)x-5c\end{eqnarray}\)

---

左辺と係数比較すると、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}a=-(c+4)~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\b=4c+5~~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\-5=-5c~~~~~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&-5c
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&-(1+4)
\\[3pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&4\cdot 1+5
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-5~,~b=9\)、他の解 \(2+i~,~1\) となる

 
 

【別解その②】

---

\(P(x)=x^3+ax^2+bx-5\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(2-i\) をもつので、その共役複素数 \(2+i\) も解にもつ

---

これより、

---

---

よって、\(P(x)\) は \(x^2-4x+5\) で割り切れるので、

---

---

余りが \(0\) となることより、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}b+4a+11=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-5a-25=0~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-5a-25&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-5\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b+4\cdot(-5)+11&=&0
\\[3pt]~~~b-9&=&0
\\[3pt]~~~b&=&9\end{eqnarray}\)

---

また、商が \(x+(a+4)=x+(-5+4)=x-1\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x^2-4x+5)(x-1)\)

---

よって、\(P(x)=0\) の解は、

---

　\(x=2\pm i~,~1\)

---

したがって、

---

　\(a=-5~,~b=9\)、他の解 \(2+i~,~1\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.44 問題 21

【教科書の解法】

---

\(x=1+\sqrt{2}\,i\) を解にもつので、代入すると、

---

---

ここで、\((1+\sqrt{2}\,i)^2\) と \((1+\sqrt{2}\,i)^3\) を計算すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{2}\,i)^2&=&1+2\sqrt{2}\,i+2i^2
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{2}\,i-2
\\[3pt]~~~&=&-1+2\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{2}\,i)^3&=&(1+\sqrt{2}\,i)^2(1+\sqrt{2}\,i)
\\[3pt]~~~&=&(-1+2\sqrt{2}\,i)(1+\sqrt{2}\,i)
\\[3pt]~~~&=&-1-\sqrt{2}\,i+2\sqrt{2}\,i+4i^2
\\[3pt]~~~&=&-1+\sqrt{2}\,i-4
\\[3pt]~~~&=&-5+\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)

---

これらを代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(-5+\sqrt{2}\,i)+a(1+\sqrt{2}\,i)+b&=&0
\\[3pt]~~~-5+\sqrt{2}\,i+a+\sqrt{2}\,ai+b&=&0
\\[3pt]~~~(-5+a+b)+\sqrt{2}(1+a)i&=&0\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}-5+a+b=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\\sqrt{2}(1+a)=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{2}(1+a)&=&0
\\[3pt]~~~1+a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-5+(-1)+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&6\end{eqnarray}\)

---

よって、3次方程式は \(x^3-x+6=0\) となる

---

\(P(x)=x^3-x+6\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(-2)&=&(-2)^3-(-2)+6
\\[3pt]~~~&=&-8+2+6
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(P(x)\) は \(x+2\) を因数にもつ

---

\(P(x)\) を \(x+2\) で割ると、

---

\(\begin{array}{rr}x^2-2x+3\hspace{22pt}
\\x+2~)~\overline{x^3~~~~~~~~~~-x+6}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3+2x^2\phantom{-x+6}~}
\\[3pt]-2x^2-x+6
\\[3pt]\underline{-~)~{-2x^2-4x}\phantom{+6}}
\\[3pt]3x+6
\\[3pt]\underline{-~)~3x+6}
\\[3pt]0\end{array}\)

---

商が \(x^2-2x+3\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x+2)(x^2-2x+3)\)

---

\(P(x)=0\) となる解は、

---

　\(x+2=0\) より \(x=-2\)

---

\(x^2-2x+3=0\) の解の公式より、

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-1\cdot 3}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\pm\sqrt{1-3}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{-2}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-1~,~b=6\)、他の解 \(1-\sqrt{2}\,i~,~-2\) となる

 
 

【おすすめ別解】

---

\(P(x)=x^3+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1+\sqrt{2}\,i\) をもつので、その共役複素数 \(1-\sqrt{2}\,i\) も解にもつ

---

これより、この2数の和と積は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{2}\,i)+(1-\sqrt{2}\,i)&=&1+1+\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}\,i
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{2}\,i)(1-\sqrt{2}\,i)&=&1-2i^2
\\[3pt]~~~&=&1+2
\\[3pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)

---

解と係数の関係より、2次式 \(x^2-2x+3\) が \(P(x)\) の因数となる

---

また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、

---

　\(x^3+ax+b=(x^2-2x+3)(x-c)\)

---

右辺を展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-2x+3)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+3x-3c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+3)x-3c\end{eqnarray}\)

---

左辺と係数比較すると、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}0=-(c+2)~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\a=2c+3~~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-3c~~~~~~~~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~0&=&-(c+2)
\\[3pt]~~~c+2&=&0
\\[3pt]~~~c&=&-2\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2\cdot(-2)+3
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-3\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-1~,~b=6\)、他の解 \(1-\sqrt{2}\,i~,~-2\) となる

 
 

【別解その②】

---

\(P(x)=x^3+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1+\sqrt{2}\,i\) をもつので、その共役複素数 \(1-\sqrt{2}\,i\) も解にもつ

---

これより、

---

---

よって、\(P(x)\) は \(x^2-2x+3\) で割り切れるので、

---

\(\begin{array}{rr}x+2\hspace{53pt}~~\hspace{17pt}
\\x^2-2x+3~)~\overline{x^3~~~~~~~~~~+ax+b~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-2x^2+3x\phantom{+b}~~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]2x^2+(a-3)x+b
\\[3pt]\underline{-~)~{2x^2~~~~~~~~~-4x+6}}
\\[3pt](a+1)x+b-6\end{array}\)

---

余りが \(0\) となることより、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}a+1=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\b-6=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=-1\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=6\)

---

また、商が \(x+2\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x^2-2x+3)(x+2)\)

---

よって、\(P(x)=0\) の解は、

---

　\(x=1\pm\sqrt{2}\,i~,~-2\)

---

したがって、

---

　\(a=-1~,~b=6\)、他の解 \(1-\sqrt{2}\,i~,~-2\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.46 問12

【教科書の解法】

---

\(x=1-i\) を解にもつので、代入すると、

---

---

ここで、\((1-i)^2\) と \((1-i)^3\) を計算すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-i)^2&=&1-2i+i^2
\\[3pt]~~~&=&1-2i-1
\\[3pt]~~~&=&-2i\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-i)^3&=&(1-i)^2(1-i)
\\[3pt]~~~&=&(-2i)(1-i)
\\[3pt]~~~&=&-2i+2i^2
\\[3pt]~~~&=&-2-2i\end{eqnarray}\)

---

これらを代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(-2-2i)+a(-2i)+b(1-i)-2&=&0
\\[3pt]~~~-2-2i-2ai+b-bi-2&=&0
\\[3pt]~~~(-4+b)+(-2-2a-b)i&=&0\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}-4+b=0~~~~~~~~~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-2-2a-b=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-4+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&4\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2-2a-4&=&0
\\[3pt]~~~-2a&=&6
\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)

---

よって、3次方程式は \(x^3-3x^2+4x-2=0\) となる

---

\(P(x)=x^3-3x^2+4x-2\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-3\cdot 1^2+4\cdot 1-2
\\[3pt]~~~&=&1-3+4-2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもつ

---

\(P(x)\) を \(x-1\) で割ると、

---

\(\begin{array}{rr}x^2-2x+2\hspace{27pt}
\\x-1~)~\overline{x^3-3x^2+4x-2}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-x^2\phantom{+4x-2}~~~~}
\\[3pt]-2x^2+4x-2
\\[3pt]\underline{-~)~{-2x^2+2x}\phantom{-2}~}
\\[3pt]2x-2
\\[3pt]\underline{-~)~2x-2}
\\[3pt]0\end{array}\)

---

商が \(x^2-2x+2\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x-1)(x^2-2x+2)\)

---

\(P(x)=0\) となる解は、

---

　\(x-1=0\) より \(x=1\)

---

\(x^2-2x+2=0\) の解の公式より、

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-1\cdot 2}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\pm\sqrt{1-2}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{-1}
\\[3pt]~~~&=&1\pm i\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-3~,~b=4\)、他の解 \(1+i~,~1\) となる

 
 

【おすすめ別解】

---

\(P(x)=x^3+ax^2+bx-2\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1-i\) をもつので、その共役複素数 \(1+i\) も解にもつ

---

これより、この2数の和と積は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-i)+(1+i)&=&1+1-i+i
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1-i)(1+i)&=&1-i^2
\\[3pt]~~~&=&1+1
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

---

解と係数の関係より、2次式 \(x^2-2x+2\) が \(P(x)\) の因数となる

---

また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、

---

　\(x^3+ax^2+bx-2=(x^2-2x+2)(x-c)\)

---

右辺を展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-2x+2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+2x-2c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+2)x-2c\end{eqnarray}\)

---

左辺と係数比較すると、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}a=-(c+2)~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\b=2c+2~~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\-2=-2c~~~~~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2&=&-2c
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&-(1+2)
\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&2\cdot 1+2
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=-3~,~b=4\)、他の解 \(1+i~,~1\) となる

 
 

【別解その②】

---

\(P(x)=x^3+ax^2+bx-2\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1-i\) をもつので、その共役複素数 \(1+i\) も解にもつ

---

これより、

---

---

よって、\(P(x)\) は \(x^2-2x+2\) で割り切れるので、

---

\(\begin{array}{rr}x+(a+2)\hspace{40pt}~\hspace{43pt}~\hspace{8pt}
\\x^2-2x+2~)~\overline{x^3+ax^2+bx-2~\hspace{43pt}~\hspace{20pt}}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-2x^2+2x\phantom{-2}~\hspace{43pt}~\hspace{24pt}}
\\[3pt](a+2)x^2+(b-2)x-2\hspace{43pt}
\\[3pt]\underline{-~)~{(a+2)x^2-2(a+2)x+2(a+2)}~~}
\\[3pt](b+2a+2)x-2a-6\end{array}\)

---

余りが \(0\) となることより、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}b+2a+2=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-2a-6=0~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2a-6&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b+2\cdot(-3)+2&=&0
\\[3pt]~~~b-4&=&0
\\[3pt]~~~b&=&4\end{eqnarray}\)

---

また、商が \(x+(a+2)=x+(-3+2)=x-1\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x^2-2x+2)(x-1)\)

---

よって、\(P(x)=0\) の解は、

---

　\(x=1\pm i~,~1\)

---

したがって、

---

　\(a=-3~,~b=4\)、他の解 \(1+i~,~1\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.48 Training 30

【教科書の解法】

---

\(x=1+2i\) を解にもつので、代入すると、

---

---

ここで、\((1+2i)^2\) と \((1+2i)^3\) を計算すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+2i)^2&=&1+4i+4i^2
\\[3pt]~~~&=&1+4i-4
\\[3pt]~~~&=&-3+4i\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+2i)^3&=&(1+2i)^2(1+2i)
\\[3pt]~~~&=&(-3+4i)(1+2i)
\\[3pt]~~~&=&-3-6i+4i+8i^2
\\[3pt]~~~&=&-3-2i-8
\\[3pt]~~~&=&-11-2i\end{eqnarray}\)

---

これらを代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(-11-2i)+a(1+2i)+b&=&0
\\[3pt]~~~-11-2i+a+2ai+b&=&0
\\[3pt]~~~(-11+a+b)+(-2+2a)i&=&0\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が実数より、実部と虚部がともに \(0\) となるので、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}-11+a+b=0~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-2+2a=0~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2+2a&=&0
\\[3pt]~~~2a&=&2
\\[3pt]~~~a&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-11+1+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&10\end{eqnarray}\)

---

よって、3次方程式は \(x^3+x+10=0\) となる

---

\(P(x)=x^3+x+10\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(-2)&=&(-2)^3+(-2)+10
\\[3pt]~~~&=&-8-2+10
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(P(x)\) は \(x+2\) を因数にもつ

---

\(P(x)\) を \(x+2\) で割ると、

---

\(\begin{array}{rr}x^2-2x+5\hspace{28pt}
\\x+2~)~\overline{x^3~~~~~~~~~~~+x+10}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3+2x^2\phantom{+x+10}~~}
\\[3pt]-2x^2+x+10
\\[3pt]\underline{-~)~{-2x^2-4x}\phantom{+10}}
\\[3pt]5x+10
\\[3pt]\underline{-~)~5x+10}
\\[3pt]0\end{array}\)

---

商が \(x^2-2x+5\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

---

　\(P(x)=(x+2)(x^2-2x+5)\)

---

\(P(x)=0\) となる解は、

---

　\(x+2=0\) より \(x=-2\)

---

\(x^2-2x+5=0\) の解の公式より、

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-1\cdot 5}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\pm\sqrt{1-5}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{-4}
\\[3pt]~~~&=&1\pm 2i\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=1~,~b=10\)、他の解 \(1-2i~,~-2\) となる

 
 

【おすすめ別解】

---

\(P(x)=x^3+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1+2i\) をもつので、その共役複素数 \(1-2i\) も解にもつ

---

これより、この2数の和と積は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+2i)+(1-2i)&=&1+1+2i-2i
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(1+2i)(1-2i)&=&1-4i^2
\\[3pt]~~~&=&1+4
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)

---

解と係数の関係より、2次式 \(x^2-2x+5\) が \(P(x)\) の因数となる

---

また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、

---

　\(x^3+ax+b=(x^2-2x+5)(x-c)\)

---

右辺を展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-2x+5)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+5x-5c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+5)x-5c\end{eqnarray}\)

---

左辺と係数比較すると、

---

　\(\left\{~\begin{array}{l}0=-(c+2)~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\a=2c+5~~~~~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-5c~~~~~~~~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~0&=&-(c+2)
\\[3pt]~~~c+2&=&0
\\[3pt]~~~c&=&-2\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2\cdot(-2)+5
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-5\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(a=1~,~b=10\)、他の解 \(1-2i~,~-2\) となる

 
 

【別解その②】

---

\(P(x)=x^3+ax+b\) とおくと、

---

\(P(x)=0\) が虚数解 \(1+2i\) をもつので、その共役複素数 \(1-2i\) も解にもつ

---

これより、

---

---

よって、\(P(x)\) は \(x^2-2x+5\) で割り切れるので、

---

\(\begin{array}{rr}x+2\hspace{53pt}~~\hspace{20pt}
\\x^2-2x+5~)~\overline{x^3~~~~~~~~~~~+ax+b~~\hspace{20pt}}
\\[3pt]\underline{-~)~x^3-2x^2+5x\phantom{+b}~~\hspace{25pt}}
\\[3pt]2x^2+(a-5)x+b
\\[3pt]\underline{-~)~{2x^2~~~~~~~-4x+10}}
\\[3pt](a-1)x+b-10\end{array}\)

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余りが \(0\) となることより、

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　\(\left\{~\begin{array}{l}a-1=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\b-10=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=1\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=10\)

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また、商が \(x+2\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、

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　\(P(x)=(x^2-2x+5)(x+2)\)

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よって、\(P(x)=0\) の解は、

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　\(x=1\pm 2i~,~-2\)

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したがって、

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　\(a=1~,~b=10\)、他の解 \(1-2i~,~-2\) となる