このページは、「3次方程式の2重解と係数」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ013次方程式 \(x^3+ax^2-5x+b=0\) が2重解 \(-1\) をもつとき、定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、他の解を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.68 演習問題B 8
\(x=-1\) を2重解とし、もう1つの解を \(x=c\) とすると、
\(x^3+ax^2-5x+b\) は \((x+1)^2\) と \(x-c\) を因数にもつので、
\(x^3+ax^2-5x+b=(x+1)^2(x-c)\)
右辺を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)^2(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+2x+1)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2+2x^2-2cx+x-c
\\[3pt]~~~&=&x^3+(2-c)x^2+(1-2c)x-c\end{eqnarray}\)
左辺と係数比較すると、
\(\left\{~\begin{array}{l}a=2-c~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\-5=1-2c~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-c~~~\hspace{10pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&1-2c
\\[3pt]~~~-2c&=&-6
\\[3pt]~~~c&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&2-3
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=-1~,~b=-3\)、他の解 \(3\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02方程式 \(x^3+ax^2+bx-6=0\) が次の値を解にもつとき、実数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、他の解を求めよ。
\({\small (2)}~\) 2重解 \(-1\)
\({\small (2)}~\) 2重解 \(-1\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.44 問題 22(2)
\(x=-1\) を2重解とし、もう1つの解を \(x=c\) とすると、
\(x^3+ax^2+bx-6\) は \((x+1)^2\) と \(x-c\) を因数にもつので、
\(x^3+ax^2+bx-6=(x+1)^2(x-c)\)
右辺を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)^2(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+2x+1)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2+2x^2-2cx+x-c
\\[3pt]~~~&=&x^3+(2-c)x^2+(1-2c)x-c\end{eqnarray}\)
左辺と係数比較すると、
\(\left\{~\begin{array}{l}a=2-c~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\b=1-2c~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\-6=-c~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-6&=&-c
\\[3pt]~~~c&=&6\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&2-6
\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&1-2\cdot 6
\\[3pt]~~~&=&1-12
\\[3pt]~~~&=&-11\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=-4~,~b=-11\)、他の解 \(6\) となる
