三角関数を含む2次方程式・2次不等式

相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\sin^2\theta-3\cos\theta&=&0
\\[3pt]~~~2(1-\cos^2\theta)-3\cos\theta&=&0
\\[3pt]~~~-2\cos^2\theta-3\cos\theta+2&=&0
\\[3pt]~~~2\cos^2\theta+3\cos\theta-2&=&0\end{eqnarray}\)

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たすき掛けの因数分解より、

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\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~2\cos\theta&&-1&-\cos\theta\\[-1pt]
&{\times} & & \\[-1pt]
~1\cos\theta&&2&4\cos\theta\\[2pt]
\hline
&&&3\cos\theta
\end{array}\)

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　\((2\cos\theta-1)(\cos\theta+2)=0\)

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ここで、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、

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　\(-1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~}1\)

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この範囲において、\(\cos\theta=-2\) は不適であるので、

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　\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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したがって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,3\,}\)

 
 

左辺を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~4\sin^2\theta-1&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(2\sin\theta+1)(2\sin\theta-1)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)

　\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\small ~≦~}\sin\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

これより、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 以上、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 以下の範囲が、不等式の解となるので、

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　\(\small [\,1\,]\) \(0\) 以上 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 以下

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　\(\small [\,2\,]\) \(\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\) 以上 \(\displaystyle \frac{\,7\pi\,}{\,6\,}\) 以下

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　\(\small [\,3\,]\) \(\displaystyle \frac{\,11\pi\,}{\,6\,}\) 以上 \(2\pi\) 未満

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したがって、

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　\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,7\pi\,}{\,6\,}~,~\)

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　\(\displaystyle \frac{\,11\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)