- 数学Ⅱ｜三角関数「加法定理を用いたsin(α+β)の値」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
加法定理を用いたsin(α+β)の値
\(\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)、\(\cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のときの \(\sin(\alpha-\beta)\) や \(\cos(\alpha+\beta)\) などの値は、
① \(\alpha\)、\(\beta\) の象限の正負に注意して、\(\cos \alpha\) と \(\sin \beta\) の値を求める。
※ 取り違いのミスを防ぐために表にまとめる。
\(\begin{array}{c|c|c}
& \sin & \cos \\[5pt]
\hline
~\alpha~ & \sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & \cos \alpha=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \\[5pt]
\hline
~\beta~ & \sin \beta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,} & \cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)
② 加法定理を用いて、値を求める。
\(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)
\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)
サインは「シンコス プラ コスシン」
コサインは「コスコス マイ シンシン」
※ \(\alpha-\beta\) は、真ん中の符号が逆になる。
\(\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\)
\(\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
\(\alpha\) は第2象限の角、\(\beta\) は第1象限の角で \(\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)、\(\cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき、\(\sin(\alpha-\beta)\) と \(\cos(\alpha+\beta)\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\begin{array}{c|c|c}
& \sin & \cos \\[5pt]
\hline
~\alpha~ & \sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & {\small [\,1\,]} \\[5pt]
\hline
~\beta~ & {\small [\,2\,]} & \cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)
\(\alpha\) は第2象限の角で、\(\cos \alpha \lt 0\) となる
\(\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) より、相互関係の公式を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \alpha&=&1-\sin^2 \alpha\\[3pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2\\[3pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \alpha \lt 0\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \alpha&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\beta\) は第1象限の角で、\(\sin \beta \gt 0\) となる
\(\cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) より、相互関係の公式を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \beta&=&1-\cos^2 \beta\\[3pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2\\[3pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \beta \gt 0\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \beta&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|c|c}
& \sin & \cos \\[5pt]
\hline
~\alpha~ & \sin \alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & \cos \alpha=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \\[5pt]
\hline
~\beta~ & \sin \beta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,} & \cos \beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)
これより、加法定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin(\alpha-\beta)\\[3pt]~~~&=&\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}+\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8+3\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos(\alpha+\beta)\\[3pt]~~~&=&\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta\\[3pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,6+4\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin(\alpha-\beta)=\displaystyle \frac{\,8+3\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\)、\(\cos(\alpha+\beta)=-\displaystyle \frac{\,6+4\sqrt{\,5\,}\,}{\,15\,}\)
