- 数学Ⅱ｜三角関数「2倍角の公式を用いた等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜2倍角の公式を用いた等式の証明
三角関数 37等式 \((\sin\theta-\cos\theta)^2=1-\sin 2\theta~,~\)\(\cos^4\theta-\sin^4\theta=\cos 2\theta\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
2倍角の公式を用いた等式の証明
Point：2倍角の公式を用いた等式の証明
① 左辺（または右辺）を2倍角の公式を用いて計算する。
\(\begin{eqnarray}\sin 2\alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha
\\[7pt]\cos 2\alpha&=&\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&1-2\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&2\cos^2 \alpha-1
\\[7pt]\tan 2\alpha&=&\displaystyle \frac{\,2 \tan \alpha\,}{\,1-\tan^2 \alpha\,}
\end{eqnarray}\)
② 右辺（または左辺）と等しいことを示す。
2倍角の公式を用いた等式の証明は、
① 左辺（または右辺）を2倍角の公式を用いて計算する。
\(\begin{eqnarray}\sin 2\alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha
\\[7pt]\cos 2\alpha&=&\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&1-2\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&2\cos^2 \alpha-1
\\[7pt]\tan 2\alpha&=&\displaystyle \frac{\,2 \tan \alpha\,}{\,1-\tan^2 \alpha\,}
\end{eqnarray}\)
② 右辺（または左辺）と等しいことを示す。
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詳しい解説｜2倍角の公式を用いた等式の証明
三角関数 37
等式 \((\sin\theta-\cos\theta)^2=1-\sin 2\theta~,~\)\(\cos^4\theta-\sin^4\theta=\cos 2\theta\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
[証明] （左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sin\theta-\cos\theta)^2
\\[3pt]~~~&=&\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-2\sin\theta\cos\theta\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) と
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1-\sin 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta-\cos\theta)^2=1-\sin 2\theta\) [終]
[証明] （左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos^4\theta-\sin^4\theta
\\[3pt]~~~&=&(\cos^2\theta)^2-(\sin^2\theta)^2
\\[3pt]~~~&=&(\cos^2\theta+\sin^2\theta)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) と
2倍角の公式 \(\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1\cdot \cos 2\theta
\\[3pt]~~~&=&\cos 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos^4\theta-\sin^4\theta=\cos 2\theta\) [終]
