- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「常用対数の式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜常用対数の式の値
指数関数と対数関数 36\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、\(\log_{10}6~,~\)\(\log_{10}5~,~\)\(\log_{2}3~,~\)\(\log_{10}\sqrt{6}\) の値は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
常用対数の式の値
Point：常用対数の式の値
① 底の変換公式より、底を \(10\) とする常用対数で表す。
② 真数を積や商の形にし、対数の和や差に式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}6&=&\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}2+\log_{10}3\end{eqnarray}\)
③ 常用対数の値を代入し、式の値を求める。
※ \(\log_{10}5\) は商の形 \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}\) とする。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2\end{eqnarray}\)
常用対数を用いて式の値は、
① 底の変換公式より、底を \(10\) とする常用対数で表す。
② 真数を積や商の形にし、対数の和や差に式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}6&=&\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}2+\log_{10}3\end{eqnarray}\)
③ 常用対数の値を代入し、式の値を求める。
※ \(\log_{10}5\) は商の形 \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}\) とする。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜常用対数の式の値
指数関数と対数関数 36
\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、\(\log_{10}6~,~\)\(\log_{10}5~,~\)\(\log_{2}3~,~\)\(\log_{10}\sqrt{6}\) の値は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
真数 \(6\) を積の形にし、対数の和に直すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}6&=&\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}2+\log_{10}3
\\[3pt]~~~&=&0.3010+0.4771
\\[3pt]~~~&=&0.7781\end{eqnarray}\)
真数 \(5\) を商の形にし、対数の差に直すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&1-0.3010
\\[3pt]~~~&=&0.6990\end{eqnarray}\)
底の変換公式で底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}3&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}3\,}{\,\log_{10}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.4771\,}{\,0.3010\,}
\\[5pt]~~~&=&1.58504\cdots
\\[5pt]~~~&{\small ~≒~}&1.5850\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{6}=6^{\large \frac{1}{2}}=(2{\, \small \times \,}3)^{\large \frac{1}{2}}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\sqrt{6}&=&\log_{10}6^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\log_{10}2+\log_{10}3)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(0.3010+0.4771)
\\[3pt]~~~&=&0.38905\end{eqnarray}\)
