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問題｜常用対数と小数第何位
指数関数と対数関数 38\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、\(2^{-31}\) は小数第何位で初めて \(0\) でない数字が現れるか？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
常用対数と小数第何位
Point：常用対数と小数第何位
① \(2^{-31}\) に底が \(10\) の常用対数をとり、その値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{-31}&=&-31 \cdot \log_{10}2\\[3pt]~~~&=&-31{\, \small \times \,}0.3010\\[3pt]~~~&=&-9.331\end{eqnarray}\)
② 求めた値より、\(\log_{10}2^{-31}\) を連続する2つの整数ではさむ。
\(-10 \lt \log_{10}2^{-31} \lt -9\)
③ 2つの整数を底が \(10\) の常用対数で表し、真数を比較すると
\(\log_{10}10^{-10} \lt \log_{10}2^{-31} \lt \log_{10}10^{-9}\)
よって、\(10^{-10} \lt 2^{-31} \lt 10^{-9}\)
④ \(10^{-10}\) と \(10^{-9}\) が小数第何位で初めて \(0\) でない数字が現れるかを考え、\(2^{-31}\) についても求める。
\(10^{-10}=0.0000000001\) は小数第 \(10\) 位で、
\(10^{-9}=0.000000001\) は小数第 \(9\) 位で
初めて\(0\) でない数字が現れるので、
\(2^{-31}\) は小数第 \(10\) 位で
初めて \(0\) でない数字に現れる。
\(2^{-31}\) は、小数第何位で初めて \(0\) でない数字が現れるかは、
① \(2^{-31}\) に底が \(10\) の常用対数をとり、その値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{-31}&=&-31 \cdot \log_{10}2\\[3pt]~~~&=&-31{\, \small \times \,}0.3010\\[3pt]~~~&=&-9.331\end{eqnarray}\)
② 求めた値より、\(\log_{10}2^{-31}\) を連続する2つの整数ではさむ。
\(-10 \lt \log_{10}2^{-31} \lt -9\)
③ 2つの整数を底が \(10\) の常用対数で表し、真数を比較すると
\(\log_{10}10^{-10} \lt \log_{10}2^{-31} \lt \log_{10}10^{-9}\)
よって、\(10^{-10} \lt 2^{-31} \lt 10^{-9}\)
④ \(10^{-10}\) と \(10^{-9}\) が小数第何位で初めて \(0\) でない数字が現れるかを考え、\(2^{-31}\) についても求める。
\(10^{-10}=0.0000000001\) は小数第 \(10\) 位で、
\(10^{-9}=0.000000001\) は小数第 \(9\) 位で
初めて\(0\) でない数字が現れるので、
\(2^{-31}\) は小数第 \(10\) 位で
初めて \(0\) でない数字に現れる。
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詳しい解説｜常用対数と小数第何位
指数関数と対数関数 38
\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、\(2^{-31}\) は小数第何位で初めて \(0\) でない数字が現れるか？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(2^{-31}\) に底が \(10\) の常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{10}2^{-31}\\[3pt]~~~&=&-31~\log_{10}2\\[3pt]~~~&=&-31{\, \small \times \,}0.3010\\[3pt]~~~&=&-9.331\end{eqnarray}\)
よって、この値を2つの整数で挟むと、
\(-10 \lt \log_{10}2^{-31} \lt -9\)
底が \(10\) の常用対数で表すと、
\(\log_{10}10^{-10} \lt \log_{10}2^{-31} \lt \log_{10}10^{-9}\)
これより、真数を比較すると、
底が10で1より大きいので、大小関係はそのままで、
\(10^{-10} \lt 2^{-31} \lt 10^{-9}\)
\(10^{-10}=0.0000000001\) は小数第 \(10\) 位で、
\(10^{-9}=0.000000001\) は小数第 \(9\) 位で
初めて\(0\) でない数字が現れるので、
したがって、
\(2^{-31}\) は小数第 \(10\) 位で初めて \(0\) でない数字に現れる
