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問題｜導関数と4次関数のグラフ
微分と積分 20関数 \(y=x^4-2x^2\) の極値の求め方とグラフの描き方は？また、関数 \(y=-x^4+4x^3\) の極値の求め方とグラフの描き方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
導関数と4次関数のグラフ
Point：導関数と4次関数のグラフ
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=4x^3-4x&=&0\\[3pt]~~~4x(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~0~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-1 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=-1\)
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-1\)
③ 増減表を作り、極大値と極小値を求め、\(y=f(x)\) のグラフを描く。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow
\end{array}\)
\(x=-1\) のとき、極小値 \(-1\)
\(x=0\) のとき、極大値 \(0\)
\(x=1\) のとき、極小値 \(-1\)
\(x=a\) の前後で \(f^{\prime}(a)\) の符号が
正から負に変化 → \(f(a)\) は極大値
負から正に変化 → \(f(a)\) は極小値
変わらないとき → \(f(a)\) は極値でない
4次関数 \(f(x)=x^4-2x^2\) のグラフは、
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=4x^3-4x&=&0\\[3pt]~~~4x(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~0~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-1 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=-1\)
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-1\)
③ 増減表を作り、極大値と極小値を求め、\(y=f(x)\) のグラフを描く。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow
\end{array}\)
\(x=-1\) のとき、極小値 \(-1\)
\(x=0\) のとき、極大値 \(0\)
\(x=1\) のとき、極小値 \(-1\)
\(x=a\) の前後で \(f^{\prime}(a)\) の符号が
正から負に変化 → \(f(a)\) は極大値
負から正に変化 → \(f(a)\) は極小値
変わらないとき → \(f(a)\) は極値でない
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詳しい解説｜導関数と4次関数のグラフ
微分と積分 20
関数 \(y=x^4-2x^2\) の極値の求め方とグラフの描き方は？また、関数 \(y=-x^4+4x^3\) の極値の求め方とグラフの描き方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^4-2x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-2 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-2 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&4x^3-4x\\[3pt]~~~&=&4x(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&4x(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~0~,~1\end{eqnarray}\)
3次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-1 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^4-2 \cdot (-1)^2\\[3pt]~~~&=&1-2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-2 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^4-2 \cdot 1^2\\[3pt]~~~&=&1-2\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow\end{array}\)
これより、
\(x=-1\) のとき、極小値 \(-1\)
\(x=0\) のとき、極大値 \(0\)
\(x=1\) のとき、極小値 \(-1\)
また、点 \((-1~,~-1)~,~\)\((0~,~0)~,~\)\((1~,~-1)\) を通るので、\(y=x^4-2x^2\) のグラフは、
\(f(x)=-x^4+4x^3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-4x^3+4 \cdot 3x^2\\[3pt]~~~&=&-4x^3+12x^2\\[3pt]~~~&=&-4x^2(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-4x^2(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~3\end{eqnarray}\)
3次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^4+4 \cdot 0^3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&-3^4+4 \cdot 3^3\\[3pt]~~~&=&-81+108\\[3pt]~~~&=&27\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \nearrow & 0 & \nearrow & 27 & \searrow\end{array}\)
増減表より、\(x=3\) のとき、極大値 \(27\)
※ \(x=0\) の前後で \(f^{\prime}(x)\) の符号が変わらないので、\(f(0)\) は極値でない。
また、点 \((0~,~0)~,~\)\((3~,~27)\) を通るので、\(y=-x^4+4x^3\) のグラフは、
