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問題｜不定積分と関数の決定
微分と積分 35条件 \(F^{\prime}(x)=3x^2-4x-5~,~\)\(F(-1)=1\) を満たす関数 \(F(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
不定積分と関数の決定
Point：不定積分と関数の決定
\(F^{\prime}(x)=3x^2-4x-5~,~F(-1)=1\)
① 導関数の条件より、不定積分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~F(x)&=&\displaystyle\int(3x^2-4x-5)\,dx\\[3pt]~~~&=&x^3-2x^2-5x+C\end{eqnarray}\)
② 関数の値の条件より、積分定数Cを求め、F(x)を求める。
\(F(-1)=1\) より、\(C=-1\)
よって、\(F(x)=x^3-2x^2-5x-1\)
導関数と条件から関数の決定は、
\(F^{\prime}(x)=3x^2-4x-5~,~F(-1)=1\)
① 導関数の条件より、不定積分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~F(x)&=&\displaystyle\int(3x^2-4x-5)\,dx\\[3pt]~~~&=&x^3-2x^2-5x+C\end{eqnarray}\)
② 関数の値の条件より、積分定数Cを求め、F(x)を求める。
\(F(-1)=1\) より、\(C=-1\)
よって、\(F(x)=x^3-2x^2-5x-1\)
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詳しい解説｜不定積分と関数の決定
微分と積分 35
条件 \(F^{\prime}(x)=3x^2-4x-5~,~\)\(F(-1)=1\) を満たす関数 \(F(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(F^{\prime}(x)=3x^2-4x-5\) より、積分定数を \(C\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~F(x)&=&\displaystyle\int(3x^2-4x-5)\,dx\\[3pt]~~~&=&3\displaystyle\int x^2\,dx-4\displaystyle\int x\,dx-5\displaystyle\int dx\\[5pt]~~~&=&3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-5x+C\\[5pt]~~~&=&x^3-2x^2-5x+C\end{eqnarray}\)
ここで、\(F(-1)=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~F(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-5(-1)+C&=&1\\[3pt]~~~-1-2+5+C&=&1\\[3pt]~~~C&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(F(x)=x^3-2x^2-5x-1\) となる
