- 数学Ⅱ｜微分と積分「関数xⁿの定積分の計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数xⁿの定積分の計算
微分と積分 37定積分\(\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_1^2(3x+2)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt\)の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
関数xⁿの定積分の計算
Point：関数xⁿの定積分の計算
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx&=&\Big[\,F(x)\,\Big]_a^b\\[5pt]~~~&=&F(b)-F(a)\end{eqnarray}\)
※ 積分定数は \(0\) でよい。
② 上端に代入した \(F(b)\) から下端に代入した \(F(a)\) の差が定積分となる。
関数 \(f(x)\) の不定積分の1つを \(F(x)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx&=&\Big[\,F(x)\,\Big]_a^b\\[5pt]~~~&=&F(b)-F(a)\end{eqnarray}\)
① \(f(x)\) の不定積分を求める。
※ 積分定数は \(0\) でよい。
② 上端に代入した \(F(b)\) から下端に代入した \(F(a)\) の差が定積分となる。
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詳しい解説｜関数xⁿの定積分の計算
微分と積分 37
定積分\(\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_1^2(3x+2)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt\)の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-5x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x^3-2x^2-5x\,\Big]_0^1
\\[5pt]~~~&=&(1^3-2 \cdot 1^2-5 \cdot 1)-0
\\[3pt]~~~&=&1-2-5
\\[3pt]~~~&=&-6\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx=-6\)
関数を展開して、定積分の計算をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_1^2(3x+2)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(9x^2+12x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,9 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+12 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,3x^3+6x^2+4x\,\Big]_1^2
\\[5pt]~~~&=&(3 \cdot 2^3+6 \cdot 2^2+4 \cdot 2)-(3 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2+4 \cdot 1)
\\[3pt]~~~&=&(24+24+8)-(3+6+4)
\\[3pt]~~~&=&56-13
\\[3pt]~~~&=&43\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(9x^2+12x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,9 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+12 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,3x^3+6x^2+4x\,\Big]_1^2
\\[5pt]~~~&=&(3 \cdot 2^3+6 \cdot 2^2+4 \cdot 2)-(3 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2+4 \cdot 1)
\\[3pt]~~~&=&(24+24+8)-(3+6+4)
\\[3pt]~~~&=&56-13
\\[3pt]~~~&=&43\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle\int_1^2(3x+2)^2\,dx=43\)
関数を展開して、定積分の計算をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(t^2+2t-3)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1^2-3 \cdot 1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2-3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1+3\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)+(1-3-1-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-18\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(t^2+2t-3)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1^2-3 \cdot 1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2-3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1+3\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)+(1-3-1-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-18\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt=-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
