このページは、「3つの集合の和集合の要素の個数」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
3つの集合の和集合の要素の個数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01図において、\(a~,~b~,~c~,~d~,~e~,~f~,~g\) は、各部分の集合の要素の個数を表す。この図を用いて、次の等式が成り立つことを確かめよ。
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B \cup C)&=&n(A)+n(B)+n(C)\\[3pt]~~~&&-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)\\[3pt]~~~&&+n(A \cap B \cap C)\end{eqnarray}\)
数研出版｜数学A[712] p.18 研究 練習1
数研出版｜数学A[104-901] p.18 研究 練習1
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.31 参考 問1
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.31 参考 問1
ベン図より、それぞれの集合の要素の個数は、
\(n(A)=a+d+f+g\)
\(n(B)=b+d+e+g\)
\(n(C)=c+e+f+g\)
\(n(A \cap B)=d+g\)
\(n(B \cap C)=e+g\)
\(n(C \cap A)=f+g\)
\(n(A \cap B \cap C)=g\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)\\[3pt]~~~&=&(a+d+f+g)+(b+d+e+g)+(c+e+f+g)-(d+g)-(e+g)-(f+g)+g\\[3pt]~~~&=&a+b+c+d+e+f+g\\[3pt]~~~&=&n(A \cup B \cup C)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B \cup C)&=&n(A)+n(B)+n(C)\\[3pt]~~~&&-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)\\[3pt]~~~&&+n(A \cap B \cap C)\end{eqnarray}\)
が成り立つ
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(200\) 以下の自然数のうち、次のような数の個数を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(2\) でも \(3\) でも \(5\) でも割り切れる数
\({\small (2)}~\) \(2\) 、\(3\) 、\(5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数
\({\small (1)}~\) \(2\) でも \(3\) でも \(5\) でも割り切れる数
\({\small (2)}~\) \(2\) 、\(3\) 、\(5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.31 参考 問2
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.31 参考 問2
\(200\) 以下の自然数のうち、\(2\) の倍数の集合 \(A\) の要素の個数は、
\(A=\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~\cdots~,~2 \cdot 100\,\}\)
これより、\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 100\) までの \(100\) 個あるので、
\(n(A)=100~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(3\) の倍数の集合 \(B\) の要素の個数は、
\(B=\{\,3 \cdot 1~,~3 \cdot 2~,~\cdots~,~3 \cdot 66\,\}\)
これより、\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 66\) までの \(66\) 個あるので、
\(n(B)=66~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(5\) の倍数の集合 \(C\) の要素の個数は、
\(C=\{\,5 \cdot 1~,~5 \cdot 2~,~\cdots~,~5 \cdot 40\,\}\)
これより、\(5 \cdot 1\) から \(5 \cdot 40\) までの \(40\) 個あるので、
\(n(C)=40~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数、つまり \(6\) の倍数の集合 \(A \cap B\)は、
\(A \cap B=\{\,6 \cdot 1~,~6 \cdot 2~,~\cdots~,~6 \cdot 33\,\}\)
これより、\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 33\) までの \(33\) 個あるので、
\(n(A \cap B)=33~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\(3\) の倍数かつ \(5\) の倍数、つまり \(15\) の倍数の集合 \(B \cap C\)は、
\(B \cap C=\{\,15 \cdot 1~,~15 \cdot 2~,~\cdots~,~15 \cdot 13\,\}\)
これより、\(15 \cdot 1\) から \(15 \cdot 13\) までの \(13\) 個あるので、
\(n(B \cap C)=13~~~\cdots {\small [\,5\,]}\)
\(5\) の倍数かつ \(2\) の倍数、つまり \(10\) の倍数の集合 \(C \cap A\)は、
\(C \cap A=\{\,10 \cdot 1~,~10 \cdot 2~,~\cdots~,~10 \cdot 20\,\}\)
これより、\(10 \cdot 1\) から \(10 \cdot 20\) までの \(20\) 個あるので、
\(n(C \cap A)=20~~~\cdots {\small [\,6\,]}\)
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数かつ \(5\) の倍数、つまり \(30\) の倍数の集合 \(A \cap B \cap C\)は、
\(A \cap B \cap C=\{\,30 \cdot 1~,~30 \cdot 2~,~\cdots~,~30 \cdot 6\,\}\)
これより、\(30 \cdot 1\) から \(30 \cdot 6\) までの \(6\) 個あるので、
\(n(A \cap B \cap C)=6~~~\cdots {\small [\,7\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(2\) でも \(3\) でも \(5\) でも割り切れる数は、
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数かつ \(5\) の倍数、つまり \(30\) の倍数であるので、
\({\small [\,7\,]}\) より、
\(n(A \cap B \cap C)=6\)
したがって、\(6\) 個
\({\small (2)}~\) \(2\) 、\(3\) 、\(5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数の集合は、
\(2\) の倍数または \(3\) の倍数または \(5\) の倍数の集合の要素の個数であり、
\({\small [\,1\,]}\) から \({\small [\,7\,]}\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n(A \cup B \cup C)\\[3pt]~~~&=&n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)\\[3pt]~~~&=&100+66+40-33-13-20+6\\[3pt]~~~&=&212-66\\[3pt]~~~&=&146\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(146\) 個
