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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(100\) から \(200\) までの整数のうち、\(4\) でも \(6\) でも割り切れない数の個数を求めよ。
数研出版｜数学A[712] p.41 問題 2
数研出版｜数学A[104-901] p.41 問題 2
\(100\) から \(200\) までの整数の全体の集合を \(U\)とすると、
\(n(U)=200-100+1=101~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(100\) から \(200\) までの整数のうち、\(4\) の倍数の集合 \(A\)は、
\(A=\{\,4 \cdot 25~,~4 \cdot 26~,~\cdots~,~4 \cdot 50\,\}\)
これより、
\(4 \cdot 1\) から \(4 \cdot 50\) までの \(50\) 個から、
\(4 \cdot 1\) から \(4 \cdot 24\) までの \(24\) 個を引くので、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A)&=&50-24\\[3pt]~~~&=&26~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(6\) の倍数の集合 \(B\)は、
\(B=\{\,6 \cdot 17~,~6 \cdot 18~,~\cdots~,~6 \cdot 33\,\}\)
これより、
\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 33\) までの \(33\) 個から、
\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 個を引くので、
\(\begin{eqnarray}~~~n(B)&=&33-16\\[3pt]~~~&=&17~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(4\) の倍数かつ \(6\) の倍数の集合 \(A \cap B\)は、
\(12\) の倍数の集合であるので、
\(A \cap B=\{\,12 \cdot 9~,~12 \cdot 10~,~\cdots~,~12 \cdot 16\,\}\)
これより、
\(12 \cdot 1\) から \(12 \cdot 16\) までの \(16\) 個から、
\(12 \cdot 1\) から \(12 \cdot 8\) までの \(8\) 個を引くので、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cap B)&=&16-8\\[3pt]~~~&=&8~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(4\) の倍数または \(6\) の倍数の集合 \(A \cup B\) の要素の個数は、
\({\small [\,2\,]}\) から \({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B)&=&n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\[3pt]~~~&=&26+17-8\\[3pt]~~~&=&35~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\(4\) でも \(6\) でも割り切れない数の集合 \(\overline{A} \cap \overline{B}\)は、
ド・モルガンの法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(\overline{A} \cap \overline{B})&=&n(\overline{A \cup B})\\[3pt]~~~&=&n(U)-n(A \cup B)\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{n(\overline{A} \cap \overline{B})}&=&101-35\\[3pt]~~~&=&66\end{eqnarray}\)
したがって、\(4\) でも \(6\) でも割り切れない数の個数は \(66\) 個
