このページは、「同数が交互に並ぶ・隣り合わない順列」の練習問題アーカイブページとなります。
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同数が交互に並ぶ・隣り合わない順列 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01大人 \(5\) 人、子ども \(4\) 人が \(1\) 列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。
\({\small (1)}~\) 両端が子どもである。
\({\small (2)}~\) 大人と子どもが交互に並ぶ。
\({\small (3)}~\) どの子どもも隣り合わない。
\({\small (1)}~\) 両端が子どもである。
\({\small (2)}~\) 大人と子どもが交互に並ぶ。
\({\small (3)}~\) どの子どもも隣り合わない。
数研出版｜数学A[712] p.41 問題 4
数研出版｜数学A[104-901] p.41 問題 4
\({\small (1)}~\)子ども \(4\) 人を両端に並べるので、
\(\begin{array}{ccccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & & & & & & \uparrow
\\[-1pt]4通り & & & & & & & & 3通り
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & & & & & & \uparrow
\\[-1pt]4通り & & & & & & & & 3通り
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 3=12\) 通り
そのおのおのについて、間の②〜⑧へ残りの \(7\) 人の並べ方は、
\(7!=5040\) 通り
よって、積の法則より、
\(12 {\small \times} 5040=60480\) 通り
したがって、\(60480\) 通り
\({\small (2)}~\)大人 \(5\) 人、子ども \(4\) 人を大人と子どもが交互に並べるので、
人数の多い大人 \(5\) 人を先に①、③、⑤、⑦、⑨に並べると、
\(\begin{array}{ccccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]5通り & & 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]5通り & & 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4 {\small \times} 3 {\small \times} 2 {\small \times} 1=120\) 通り
そのおのおのについて、②、④、⑥、⑧への子どもの並べ方は、
\(\begin{array}{ccccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 3 {\small \times} 2 {\small \times} 1=24\) 通り
よって、積の法則より、
\(120 {\small \times} 24=2880\) 通り
したがって、\(2880\) 通り
\({\small (3)}~\)大人 \(5\) 人を並べて、その間と両端に枠をつくると、
\(\begin{array}{ccccccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨ & ⑩ & ⑪
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 5通り & & 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨ & ⑩ & ⑪
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 5通り & & 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
②、④、⑥、⑧、⑩ への大人 \(5\) 人の並べ方は、
\(5!=120\) 通り
そのおのおのについて、子どもの並べ方は、①、③、⑤、⑦、⑨、⑪ の \(6\) か所から \(4\) か所選んで、子ども \(4\) 人を並べる
これは、子ども \(4\) 人 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の枠に①、③、⑤、⑦、⑨、⑪ の \(6\) か所からどこに入るかを割り当てる順列と考えられるので、
\(\begin{array}{cccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C} & {\rm D}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]6通り & 5通り & 4通り & 3通り
\end{array}\)
1人目の子どもは、\(6\) か所から選べて \(6\) 通り
2人目の子どもは、残り \(5\) か所から選べて \(5\) 通り
3人目の子どもは、残り \(4\) か所から選べて \(4\) 通り
4人目の子どもは、残り \(3\) か所から選べて \(3\) 通り
\(6 {\small \times} 5 {\small \times} 4 {\small \times} 3=360\) 通り
よって、積の法則より、
\(120 {\small \times} 360=43200\) 通り
したがって、\(43200\) 通り
