このページは、「n以上の整数の順列や小さい順に並べた順番」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
n以上の整数の順列や小さい順に並べた順番 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(6\) 個の数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) のうちの異なる \(3\) 個を並べて、\(3\) 桁の整数を作る。\(3\) 桁の整数を小さい順に並べるとき、\(46\) 番目の数を求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[713] p.71 章末問題A 1
百の位が \(1\) のとき、十の位と一の位は残りの \(5\) つの数字から \(2\) つ選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}1\phantom{0}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4=20\) 通り
百の位が \(2\) のときも同様に、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4=20\) 通り
ここまでで \(20+20=40\) 通り
百の位が \(3\) で、十の位が \(0\) のとき、一の位は残りの \(4\) つの数字から選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}3\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 0\text{が入る} & 4通り
\end{array}\)
\(4\) 通り
ここまでで \(40+4=44\) 通り
よって、「\(305\)」が \(44\) 番目となるので、
\(45\) 番目は「\(310\)」
\(46\) 番目は「\(312\)」
したがって、\(312\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(6\) 個の数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) のうちの異なる \(3\) 個を並べて、\(3\) 桁の整数を作る。\(3\) 桁の整数を小さい順に並べるとき、\(22\) 番目の数を求めよ。
数研出版｜新編数学A[711] p.64 章末問題A 1
百の位が \(1\) のとき、十の位と一の位は残りの \(5\) つの数字から \(2\) つ選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}1\phantom{0}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4=20\) 通り
ここまでで \(20\) 通り
百の位が \(2\) で、十の位が \(0\) のとき、一の位は残りの \(4\) つの数字から選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 0\text{が入る} & 4通り
\end{array}\)
\(4\) 通り
ここまでで \(20+4=24\) 通り
よって、「\(201\)」が \(21\) 番目となるので、
\(21\) 番目は「\(201\)」
\(22\) 番目は「\(203\)」
したがって、\(203\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(5\) 個の数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) から異なる \(3\) 個の数字を用いて \(3\) 桁の整数をつくるとき、次のような整数は何個できるか。
\({\small (1)}~\) 偶数
\({\small (2)}~\) \(320\) より大きい整数
\({\small (1)}~\) 偶数
\({\small (2)}~\) \(320\) より大きい整数
東京書籍｜Standard数学A[702] p.74 Level Up 1
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.62 Level Up 1
\({\small (1)}~\)\(3\) 桁の偶数は、
\(\small [\,1\,]\) 一の位が \(0\) のとき
百の位と十の位には、残りの \(4\) つの数字から \(2\) 個を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 3通り & 0\text{が入る}
\end{array}\)
\(4 {\small \times} 3 {\small \times} 1=12\) 通り
\(\small [\,2\,]\) 一の位が \(2\) or \(4\) のとき
百の位には一の位の数字と \(0\) 以外の \(3\) つの数字が入り、十の位には残りの \(3\) つの数字から \(1\) つ選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 2\,\text{or}\,4
\end{array}\)
\(3 {\small \times} 3 {\small \times} 2=18\) 通り
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(12+18=30\) 通り
したがって、\(30\) 個
\({\small (2)}~\)\(3\) 桁の整数で百の位が \(4\) のとき、十の位と一の位は残りの \(4\) つの数字から \(2\) つ選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4\text{が入る} & 4通り & 3通り
\end{array}\)
よって、
\(1 {\small \times} 4 {\small \times} 3=12\) 通り \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、百の位が \(3\) で、十の位が \(2\) より大きい \(4\) のとき、一の位は残りの \(3\) つの数字から選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}3\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 4\text{が入る} & 3通り
\end{array}\)
よって、
\(1 {\small \times} 3=3\) 通り \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
次に、百の位が \(3\) で、十の位が \(2\) のとき、一の位は \(0\) より大きい数字を選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}3\phantom{0}} & \boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///}
\\[-3pt]& & \uparrow
\\[-1pt]& & 1\,\text{or}\,4
\end{array}\)
よって、
\(2\) 通り \(\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(12+3+2=17\) 通り
したがって、\(17\) 個
