このページは、「自分のものを受け取らない順列(完全順列)」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
自分のものを受け取らない順列(完全順列) で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人の名刺が、\(1\) 枚ずつ別々の封筒に入れてある。この \(4\) 人が、それぞれ別々の封筒を \(1\) つ選ぶとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(4\) 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率
\({\small (2)}~\) \(4\) 人とも他人の名刺が入った封筒を選ぶ確率
\({\small (1)}~\) \(4\) 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率
\({\small (2)}~\) \(4\) 人とも他人の名刺が入った封筒を選ぶ確率
数研出版｜数学A[712] p.79 演習問題B 9
数研出版｜数学A[104-901] p.79 演習問題B 9
全事象は、\(4\) 人がそれぞれ別々の封筒を選ぶ順列なので、
\(\begin{array}{cccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C} & {\rm D}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(4!=24\) 通り
\({\small (1)}~\)\(4\) 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶのは、
\(1\) 通り
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}\)
\({\small (2)}~\)\(4\) 人の名刺をそれぞれ \(a~,~b~,~c~,~d\) とすると、自分の名刺は受け取らないので、
A が \(b\) を受け取るとき、
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]b & – & a & – & d & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & d & – & a
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & c
\end{array}\)
A が \(c\) を受け取るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]c & – & a & – & d & – & b
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
A が \(d\) を受け取るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]d & – & a & – & b & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
これより、\(3+3+3=9\) 通り
したがって、\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,24\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人が品物を \(1\) 個ずつ持ち寄り、くじ引きで分けることにした。各人が他の人の品物をもらうような分け方は何通りあるか。
数研出版｜高等学校数学A[713] p.72 章末問題B 7
数研出版｜新編数学A[711] p.65 章末問題B 8
\(4\) 人の品物をそれぞれ \(a~,~b~,~c~,~d\) とすると、自分の品物は受け取らないので、
A が \(b\) を受け取るとき、
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]b & – & a & – & d & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & d & – & a
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & c
\end{array}\)
A が \(c\) を受け取るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]c & – & a & – & d & – & b
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
A が \(d\) を受け取るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]d & – & a & – & b & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
これより、\(3+3+3=9\) 通り
したがって、\(9\) 通り
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人がくじを引いて席替えを行うとき、少なくとも \(1\) 人は席替え前と同じ席になる確率を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.44 問題 14
全事象は、\(4\) 人がそれぞれ別々の席を選ぶ順列なので、
\(\begin{array}{cccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C} & {\rm D}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(4!=24\) 通り
「少なくとも \(1\) 人は同じ席」の余事象は「全員が異なる席になる」となる
\(4\) 人の席をそれぞれ \(a~,~b~,~c~,~d\) とすると、自分の席には座らないので、
A が \(b\) に座るとき、
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]b & – & a & – & d & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & d & – & a
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & c
\end{array}\)
A が \(c\) に座るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]c & – & a & – & d & – & b
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
A が \(d\) に座るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]d & – & a & – & b & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
これより、全員が異なる席になるのは \(3+3+3=9\) 通り
よって、余事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\)
