このページは、「立方体の6面の塗り分け」の練習問題アーカイブページとなります。
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立方体の6面の塗り分け で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01多面体の各面を、次のように塗り分けるとき、塗り方の総数を求めよ。なお、多面体を回転して各面の塗り方が一致すれば同じ塗り方とみなす。
\({\small (1)}~\) 正四角錐の \(5\) 個の面を、赤青黄白緑の \(5\) 色で塗り分ける。
\({\small (2)}~\) 立方体の \(6\) 個の面を、赤青黄白緑黒の \(6\) 色で塗り分ける。
\({\small (1)}~\) 正四角錐の \(5\) 個の面を、赤青黄白緑の \(5\) 色で塗り分ける。
\({\small (2)}~\) 立方体の \(6\) 個の面を、赤青黄白緑黒の \(6\) 色で塗り分ける。
数研出版｜数学A[712] p.41 問題 7
数研出版｜数学A[104-901] p.41 問題 7
\({\small (1)}~\)正四角錐の \(5\) 色の塗り分け方は、
底面を特定の色で塗り固定すると、側面の \(4\) か所は、回転すると一致するので、\(1\) つを固定する円順列と考えて、
\(\begin{eqnarray}~~~(4-1)!&=&3!\\[3pt]~~~&=&3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、\(6\) 通りである
\({\small (2)}~\)立方体の \(6\) 色の塗り分け方は、
上の面を特定の色で塗り固定すると、下の面の塗り方は、残りの \(5\) 色の中から \(1\) 色を用いるので、
\(5\) 通り\(~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
側面の \(4\) か所は、回転すると一致するので、\(1\) つを固定する円順列と考えて、
\(\begin{eqnarray}~~~(4-1)!&=&3!\\[3pt]~~~&=&3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こる(連続して起こる)ので、積の法則より、
\(5{\, \small \times \,}6=30\)
したがって、\(30\) 通りである
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02立方体の \(6\) 個の面を、赤青黄白緑黒の \(6\) 色で塗り分けるとき、塗り方の総数を求めよ。なお、立方体を回転して \(6\) つの面の塗り方が一致すれば同じ塗り方とみなす。
数研出版｜高等学校数学A[713] p.42 問題 7
立方体の \(6\) 色の塗り分け方は、
上の面を特定の色で塗り固定すると、下の面の塗り方は、残りの \(5\) 色の中から \(1\) 色を用いるので、
\(5\) 通り\(~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
側面の \(4\) か所は、回転すると一致するので、\(1\) つを固定する円順列と考えて、
\(\begin{eqnarray}~~~(4-1)!&=&3!\\[3pt]~~~&=&3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こる(連続して起こる)ので、積の法則より、
\(5{\, \small \times \,}6=30\)
したがって、\(30\) 通りである
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03立方体の \(6\) つの面にそれぞれ色を塗るとき、各面には \(1\) つの色を塗り、隣り合う面は異なる色にしたい。色の数を次のようにした場合、塗り方は何通りあるか。
\({\small (1)}~\) \(6\) 色 \({\small (2)}~\) \(5\) 色 \({\small (3)}~\) \(4\) 色
\({\small (1)}~\) \(6\) 色 \({\small (2)}~\) \(5\) 色 \({\small (3)}~\) \(4\) 色
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.65 練習問題B 10
\({\small (1)}~\)立方体の \(6\) 色の塗り分け方は、
上の面を特定の色で塗り固定すると、下の面の塗り方は、残りの \(5\) 色の中から \(1\) 色を用いるので、
\(5\) 通り\(~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
側面の \(4\) か所は、回転すると一致するので、\(1\) つを固定する円順列と考えて、
\(\begin{eqnarray}~~~(4-1)!&=&3!\\[3pt]~~~&=&3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1\\[3pt]~~~&=&6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こる(連続して起こる)ので、積の法則より、
\(5{\, \small \times \,}6=30\)
したがって、\(30\) 通りである
\({\small (2)}~\)立方体の \(5\) 色の塗り分け方は、
隣り合う面は同じ色に塗らないので、向い合う \(2\) か所を同じ色で塗ると、
この塗り方は、\(5\) 色から \(1\) 色を選ぶので、
\(5\) 通り\(~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
側面の \(4\) か所は、回転すると一致して、さらに表裏があるのでじゅず順列として考えて、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(4-1)!\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,3!\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こる(連続して起こる)ので、積の法則より、
\(5{\, \small \times \,}3=15\)
したがって、\(15\) 通りである
\({\small (3)}~\)立方体の \(4\) 色の塗り分け方は、
隣り合う面は同じ色に塗らないので、向い合う \(2\) 組にそれぞれ同じ色を塗ると、
\(4\) 色から向い合う \(2\) 組を塗る \(2\) 色の選び方は、
\({}_4{\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}3\,}{\,2{\, \small \times \,}1\,}=6\) 通り
※ 回転したり表裏で一致するので、この \(2\) 色の入れ替わりは考えなくて良い。
残りの \(2\) か所は、どちらの塗り方をしても回転すると一致するので \(1\) 通り
よって、積の法則より、
\(6{\, \small \times \,}1=6\)
したがって、\(6\) 通りである
