このページは、「重複順列と整数の個数・順番」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
重複順列と整数の個数・順番 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) を使ってできる \(0\) 以上、\(4\) 桁以下の整数の個数を求めよ。ただし、同じ数字を重複して使ってもよいものとする。
数研出版｜数学A[712] p.78 演習問題A 2
数研出版｜数学A[104-901] p.78 演習問題A 2
\(0001\) は \(1\) 桁の \(1\)、\(0010\) は \(2\) 桁の \(10\) などと考えると、
\(0\) 以上 \(4\) 桁以下の整数は、\(0000\) ～ \(4444\) までの数字の順列とすることができるので、
\(\begin{array}{cccc}
千 & 百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 5通り & 5通り & 5通り
\end{array}\)
すべての位で \(5\) 通りの重複順列となるので、
\(5^4=625\)
したがって、\(625\) 個
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(5\) 個の数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) を重複なく使ってできる \(5\) 桁の整数を、小さい方から順に並べる。
\({\small (1)}~\) 初めて \(20000\) 以上になるのは、何番目か。
\({\small (2)}~\) \(50\) 番目の数を求めよ。
\({\small (1)}~\) 初めて \(20000\) 以上になるのは、何番目か。
\({\small (2)}~\) \(50\) 番目の数を求めよ。
数研出版｜数学A[712] p.79 演習問題B 7
数研出版｜数学A[104-901] p.79 演習問題B 7
\({\small (1)}~\)\(5\) 桁の整数なので、万の位は \(0\) 以外の \(4\) 通り
万の位が \(1\) のときは、
\(\begin{array}{ccccc}
万 & 千 & 百 & 十 & 一
\\[-3pt]1 & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
よって、\(4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1=24\) 個
したがって、\(20000\) 以上となるのは \(24+1=25\) 番目である
\({\small (2)}~\)万の位が \(2\) で始まる \(5\) 桁の整数は \(24\) 個あるので、\(25\) ～ \(48\) 番目が万の位 \(2\) である
\(49\) 番目からは万の位が \(3\) となる
万の位が \(3\) 、千の位が \(0\) の整数は、
\(\begin{array}{ccccc}
万 & 千 & 百 & 十 & 一
\\[-3pt]3 & 0 & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
よって、\(3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1=6\) 個
これより、\(48+6=54\) なので \(50\) 番目は千の位が \(0\) の中にある
万の位が \(3\) 、千の位が \(0\) 、百の位が \(1\) の整数は、
\(\begin{array}{ccccc}
万 & 千 & 百 & 十 & 一
\\[-3pt]3 & 0 & 1 & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& & & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& & & 2通り & 1通り
\end{array}\)
よって、\(2{\, \small \times \,}1=2\) 個
これより、\(48+2=50\) なので \(50\) 番目は百の位が \(1\) の最後の数
万の位が \(3\) 、千の位が \(0\) 、百の位が \(1\) で、残りの数字 \(2~,~4\) を大きい順に並べると、
よって、
\(49\) 番目 \(30124\)
\(50\) 番目 \(30142\)
したがって、\(50\) 番目は \(30142\) である
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(5\) 個の数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) を用いてつくられる \(3\) 桁の整数のうち、\(320\) より大きい整数は何個あるか。ただし、同じ数字を繰り返し用いてもよい。
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.62 練習問題A 1
\(320\) より大きい \(3\) 桁の整数を、場合分けして考えると、
百の位が \(4\) のときは、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]4 & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 5通り
\end{array}\)
よって、\(5{\, \small \times \,}5=25\) 個
百の位が \(3\) 、十の位が \(3~,~4\) のときは、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]3 & 3~or~4 & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 2通り & 5通り
\end{array}\)
よって、\(2{\, \small \times \,}5=10\) 個
百の位が \(3\) 、十の位が \(2\) 、一の位が \(1~,~2~,~3~,~4\) のときは、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]3 & 2 & 1\,〜\,4
\\[-3pt]& & \uparrow
\\[-1pt]& & 4通り
\end{array}\)
よって、\(4\) 個
これらは同時に起こらないので、和の法則より、
\(25+10+4=39\)
したがって、\(39\) 個
