重複組合せと整数の組

数研出版｜数学A[712] p.40 研究 練習1
数研出版｜数学A[104-901] p.40 研究 練習1
数研出版｜高等学校数学A[713] p.41 研究 練習1(1)
数研出版｜新編数学A[711] p.37 研究 練習1

取る \(7\) 個の文字を \(○\) 、種類を仕切る \(3\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{cccccc}
○ ○ & | & ○ ○ & | & ○ ○ & | & ○
\\[-3pt]a & & b & & c & & d
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(10\) か所に仕切り \(|\) を \(3\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{10}{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9 \cdot 8\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot \cancel{9}^3 \cdot \cancel{8}^4\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&10 \cdot 3 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&120\end{eqnarray}\)

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したがって、\(120\) 通りとなる

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【別解】\(○\) が \(7\) 個、\(|\) が \(3\) 個の合計 \(10\) 個の同じものを含む順列より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,10!\,}{\,7!\cdot 3!\,}&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}\,}{\,\cancel{7!} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9 \cdot 8\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,720\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&120\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学A[712] p.40 研究 練習2
数研出版｜数学A[104-901] p.40 研究 練習2

\({\small (1)}~\)\(10\) 個の玉を \(○\) 、\(4\) つの箱を仕切る \(3\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○○ & | & ○○
\\[-3pt]{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(13\) か所に仕切り \(|\) を \(3\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{13}{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,13 \cdot 12 \cdot 11\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13 \cdot \cancel{12}^2 \cdot 11\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&13 \cdot 2 \cdot 11\\[3pt]~~~&=&286\end{eqnarray}\)

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したがって、\(286\) 通りとなる

 
 

\({\small (2)}~\)それぞれの箱に \(1\) 個ずつ入れるので、残りの \(6\) 個の玉を \(○\) 、\(4\) つの箱を仕切る \(3\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccc}
○ & | & ○○ & | & ○○ & | & ○
\\[-3pt]{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(9\) か所に仕切り \(|\) を \(3\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_9{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{9}^3 \cdot \cancel{8}^4 \cdot 7\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 4 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&84\end{eqnarray}\)

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したがって、\(84\) 通りとなる

数研出版｜数学A[712] p.40 研究 練習3
数研出版｜数学A[104-901] p.40 研究 練習3
数研出版｜高等学校数学A[713] p.41 研究 練習2

\({\small (1)}~\)

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\(10\) 個の整数を \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccccc}
○○○ & | & ○○○○ & | & ○○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(12\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_{12}{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,12 \cdot 11\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{12}^6 \cdot 11\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 11\\[3pt]~~~&=&66\end{eqnarray}\)

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したがって、\(66\) 個となる

 
 

\({\small (2)}~\)正の整数 \(x{\small ~≧~}1~,~y{\small ~≧~}1~,~z{\small ~≧~}1\) なので、それぞれ \(1\) つ以上の \(○\) を取ると、残りの \(7\) 個の整数を \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(9\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_9{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^4\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&36\end{eqnarray}\)

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したがって、\(36\) 個となる

数研出版｜高等学校数学A[713] p.41 研究 練習1(2)

\((a+b+c)^6\) の展開式の各項は \(a^p b^q c^r\)（ただし、\(p+q+r=6~,~p{\small ~≧~}0~,~q{\small ~≧~}0~,~r{\small ~≧~}0\)）の形となるので、

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異なる項の数は、\(p+q+r=6\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(p~,~q~,~r\) の組の数に等しい

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\(6\) 個の \(○\) と \(2\) 本の仕切り \(|\) の重複組合せとして考えると、

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　\(\begin{array}{ccccccc}
○ & | & ○○○ & | & ○○
\\[-3pt]p & & q & & r
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(8\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_8{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{8}^4 \cdot 7\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&4 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)

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したがって、\(28\) 個となる

数研出版｜高等学校数学A[713] p.72 章末問題B 9

\({\small (1)}~\)\(5\) 個の整数を \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccc}
○○ & | & ○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(7\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_7{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot \cancel{6}^3\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)

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したがって、\(21\) 個となる

 
 

\({\small (2)}~\)正の整数 \(x{\small ~≧~}1~,~y{\small ~≧~}1~,~z{\small ~≧~}1\) なので、それぞれ \(1\) つ以上の \(○\) を取ると、残りの \(7\) 個の整数を \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(9\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_9{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^4\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&36\end{eqnarray}\)

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したがって、\(36\) 個となる

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.32 参考 問1
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.32 参考 問1

取る \(9\) 個の文字を \(○\) 、種類を仕切る \(3\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○ & | & ○○
\\[-3pt]a & & b & & c & & d
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(12\) か所に仕切り \(|\) を \(3\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{12}{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,12 \cdot 11 \cdot 10\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{12}^2 \cdot 11 \cdot 10\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 11 \cdot 10\\[3pt]~~~&=&220\end{eqnarray}\)

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したがって、\(220\) 通りとなる

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.33 参考 問2
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.33 参考 問2

\(12\) 個の整数を \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccc}
○○○ & | & ○○○○○ & | & ○○○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(14\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{14}{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,14 \cdot 13\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{14}^7 \cdot 13\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 13\\[3pt]~~~&=&91\end{eqnarray}\)

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したがって、\(91\) 個となる

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.33 参考 問3
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.33 参考 問3

取る \(6\) 本の飲み物を \(○\) 、種類を仕切る \(3\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccccc}
○○ & | & ○ & | & ○○ & | & ○
\\[-3pt]コーヒー & & オレンジ & & 紅茶 & & 緑茶
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(9\) か所に仕切り \(|\) を \(3\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_9{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{9}^3 \cdot \cancel{8}^4 \cdot 7\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 4 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&84\end{eqnarray}\)

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したがって、\(84\) 通りとなる

東京書籍｜Standard数学A[702] p.42 参考 問1
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.33 参考 問1

取る \(8\) 個の球を \(○\) 、種類を仕切る \(3\) 本の仕切りを \(|\) とすると、

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　\(\begin{array}{ccccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○ & | & ○
\\[-3pt]赤 & & 青 & & 黄 & & 緑
\end{array}\)

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よって、この組合せは、\(11\) か所に仕切り \(|\) を \(3\) 本入れる組合せに等しいので、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{11}{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,11 \cdot 10 \cdot 9\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11 \cdot \cancel{10}^5 \cdot \cancel{9}^3\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&11 \cdot 5 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&165\end{eqnarray}\)

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したがって、\(165\) 通りとなる