このページは、「順列を用いた確率」の練習問題アーカイブページとなります。
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順列を用いた確率 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}~,~{\rm G}\) の \(7\) 文字を横 \(1\) 列に並べるとき、次の場合の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) \({\rm A}\) と \({\rm B}\) が隣り合う。
\({\small (2)}~\) \({\rm B}\) と \({\rm C}\) が隣り合わない。
\({\small (3)}~\) \({\rm C}\) が \({\rm D}\) より左にある。
\({\small (1)}~\) \({\rm A}\) と \({\rm B}\) が隣り合う。
\({\small (2)}~\) \({\rm B}\) と \({\rm C}\) が隣り合わない。
\({\small (3)}~\) \({\rm C}\) が \({\rm D}\) より左にある。
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.44 問題 13
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.44 問題 12
\(7\) 文字を一列に並べる順列は、
\(\begin{array}{ccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]7通り & 6通り & 5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]7通り & 6通り & 5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(7!\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
\({\small (1)}~\)\({\rm A}\) と \({\rm B}\) が隣り合う確率は、
\({\rm A}\) と \({\rm B}\) を \(1\) つのグループとし、残りの \(5\) 文字と合わせた \(6\) つのものの順列の
\(\begin{array}{cccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]6通り & 5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
これより、\(6!\) となり、\({\rm A}\) と \({\rm B}\) の \(2\) 人の順列が \(2!\) であるので、積の法則を用いると、
\(6!{\, \small \times \,}2!\) 通り
したがって、確率は、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~\displaystyle \frac{\,6!{\, \small \times \,}2!\,}{\,7!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6!{\, \small \times \,}2 \cdot 1\,}{\,7 \cdot 6!\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6!}{\, \small \times \,}2 \cdot 1\,}{\,7 \cdot \cancel{6!}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm B}\) と \({\rm C}\) が隣り合わない確率は、余事象（\({\rm B}\) と \({\rm C}\) が隣り合う）を考えると、
\({\small (1)}\) と同様に、\({\rm B}\) と \({\rm C}\) を \(1\) つのグループとし、残りの \(5\) 文字と合わせた \(6\) つのものの順列より、
\(6!{\, \small \times \,}2!\) 通り
\({\rm B}\) と \({\rm C}\) が隣り合う確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6!{\, \small \times \,}2!\,}{\,7!\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
よって、余事象より \({\rm B}\) と \({\rm C}\) が隣り合わない確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm C}\) が \({\rm D}\) より左にある確率は、
\({\rm C}\) と \({\rm D}\) を同じ文字 \(x\) として考えた順列は、\(2\) つの文字 \(x\) に左側から順に \({\rm C}~,~{\rm D}\) と入る順列の総数に等しいので、
\(x\) が \(2\) 個、\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm E}~,~{\rm F}~,~{\rm G}\) がそれぞれ \(1\) 個の合計 \(7\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,2!\,}\end{eqnarray}\)
したがって、確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,2!\,}\,}{\,7!\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{7!}\,}{\,2! \cdot \cancel{7!}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02先生 \(4\) 人、生徒 \(3\) 人が \(1\) 列に並ぶとき、どの生徒も隣り合わない確率を求めよ。
東京書籍｜Standard数学A[702] p.75 Level Up 8
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.63 Level Up 7
\(7\) 人を一列に並べる順列は、
\(\begin{array}{ccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]7通り & 6通り & 5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]7通り & 6通り & 5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(7!\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
どの生徒も隣り合わない並べ方は、
先生 \(4\) 人を並べて、その間と両端に枠をつくると、
\(\begin{array}{ccccccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ & ⑦ & ⑧ & ⑨
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 4通り & & 3通り & & 2通り & & 1通り &
\end{array}\)
②、④、⑥、⑧ への先生 \(4\) 人の並べ方は、
\(4!=4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}1=24\) 通り
そのおのおのについて、生徒の並べ方は、①、③、⑤、⑦、⑨ の \(5\) か所から \(3\) か所選んで、生徒 \(3\) 人を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
生徒{\rm A} & 生徒{\rm B} & 生徒{\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り
\end{array}\)
\({}_5{\rm P}_3=5{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}3=60\) 通り
よって、積の法則より、
\(24{\, \small \times \,}60=1440\) 通り
したがって、確率は、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~\displaystyle \frac{\,4!{\, \small \times \,}{}_5{\rm P}_3\,}{\,7!\,}&=&\displaystyle \frac{\,24{\, \small \times \,}60\,}{\,5040\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1440\,}{\,5040\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
