このページは、「確率と当たりくじの本数」の練習問題アーカイブページとなります。
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確率と当たりくじの本数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(15\) 本のくじの中に何本かの当たりくじが入っている。この中から同時に \(2\) 本引くとき、\(2\) 本とも当たる確率が \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,35\,}\) であるという。当たりくじは何本あるか。
数研出版｜数学A[712] p.77 問題 14
数研出版｜数学A[104-901] p.77 問題 14
\(15\) 本のくじの中の当たりくじの本数を \(n\) 本とする（ただし、\(n\) は自然数）
\(15\) 本のくじから \(2\) 本引く組合せは、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
○\,○\,○\,○\,○\,○\,○~\cdots~○\,○
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○~○
\end{array}\)
\({}_{15} {\rm C}_2\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{15} {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,15 \cdot 14\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15 \cdot \cancel{14}^7\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&15 \cdot 7
\\[5pt]~~~&=&105\end{eqnarray}\)
\(n\) 本の当たりくじから \(2\) 本を引く組合せは、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
当たり\,n\,本&&はずれ
\\[-1pt]◎~◎~\cdots~◎& | & ○~○~\cdots~○
\\[-1pt]\downarrow & &
\\[-1pt]◎~◎ & &
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_n {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、確率は
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\,}{\,105\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2\,}{\,105{\, \small \times \,}2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,210\,}\end{eqnarray}\)
この確率が \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,35\,}\) となるので
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,210\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,35\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,210\,}{\, \small \times \,}210&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,35\,}{\, \small \times \,}210
\\[5pt]~~~n(n-1)&=&12
\\[5pt]~~~n^2-n-12&=&0
\\[3pt]~~~(n+3)(n-4)&=&0
\\[3pt]~~~n&=&-3~,~4\end{eqnarray}\)
\(n\) は自然数より、\(n=4\)
したがって、当たりのくじは \(4\) 本となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02赤球、白球合わせて \(9\) 個の球が入っている袋から同時に \(2\) 個の球を取り出すとき、それらが同じ色である確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという。この袋に入っている赤球の個数を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.62 練習問題A 5
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.62 練習問題A 5
赤球の個数を \(n\) 個とすると、白球は \((9-n)\) 個となる（ただし、\(n\) は自然数）
合計 \(9\) 個の球から同時に \(2\) 個を取り出す組合せは、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
\enclose{circle}{赤}\,\enclose{circle}{赤}\,\cdots\,\enclose{circle}{赤}& | & \enclose{circle}{白}\,\enclose{circle}{白}\,\cdots\,\enclose{circle}{白}
\\[-1pt]n\,個 && (9-n)\,個
\end{array}\)
\({}_9 {\rm C}_2\) 通りで、どの組も同様に確からしい
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_9 {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^4\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 4
\\[5pt]~~~&=&36\end{eqnarray}\)
同じ色である場合は、2個とも赤球または2個とも白球となる
赤球 \(n\) 個から \(2\) 個取り出す組合せは、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
n\,個 && (9-n)\,個
\\[-1pt]\enclose{circle}{赤}\,\enclose{circle}{赤}\,\cdots\,\enclose{circle}{赤}& | & \enclose{circle}{白}\,\enclose{circle}{白}\,\cdots\,\enclose{circle}{白}
\\[-1pt]\downarrow &&
\\[-1pt]○~○ & &
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_n {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
白球 \((9-n)\) 個から \(2\) 個取り出す組合せは、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
n\,個 && (9-n)\,個
\\[-1pt]\enclose{circle}{赤}\,\enclose{circle}{赤}\,\cdots\,\enclose{circle}{赤}& | & \enclose{circle}{白}\,\enclose{circle}{白}\,\cdots\,\enclose{circle}{白}
\\[-1pt]&& \downarrow
\\[-1pt]& & ○~○
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_{9-n} {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,(9-n)(8-n)\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(9-n)(8-n)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
2個とも赤球または2個とも白球は同時に起こらないので、和の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,(9-n)(8-n)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)+(9-n)(8-n)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n^2-n+72-17n+n^2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2n^2-18n+72\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&n^2-9n+36\end{eqnarray}\)
よって、確率は
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n^2-9n+36\,}{\,36\,}\end{eqnarray}\)
この確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となるので
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n^2-9n+36\,}{\,36\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,n^2-9n+36\,}{\,36\,}{\, \small \times \,}36&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}36
\\[5pt]~~~n^2-9n+36&=&18
\\[3pt]~~~n^2-9n+18&=&0
\\[3pt]~~~(n-3)(n-6)&=&0
\\[3pt]~~~n&=&3~,~6\end{eqnarray}\)
\(n\) は自然数で \(n \lt 9\) より、\(n=3~,~6\)
したがって、赤球の個数は \(3\) 個または \(6\) 個となる
