じゃんけんの確率

数研出版｜数学A[712] p.77 問題 8
数研出版｜数学A[104-901] p.77 問題 8

\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) 人がそれぞれの手の出し方は、グー、チョキ、パーの \(3\) 通りずつあり、

---

　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)

---

　\(3 \times 3 \times 3=27\) 通り

---

すべての場合の数は \(27\) 通りあり、どの場合も同様に確からしい

 
 

\({\small (1)}~\)\({\rm A}\) だけがグーで勝つとき、\({\rm B}\) と \({\rm C}\) はチョキを出すことになる

---

同様に \({\rm A}\) がチョキ、パーで勝つと \({\rm B}\) と \({\rm C}\) の出し方は \(1\) 通りに決まる

---

　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]グー & チョキ & チョキ
\\[-1pt]チョキ & パー & パー
\\[-1pt]パー & グー & グー
\end{array}\)

---

したがって、\({\rm A}\) だけが勝つのは \(3\) 通りとなるので、確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)

 
 

\({\small (2)}~\)\({\rm A}\) を含む \(2\) 人が勝つのは、

---

　\({\rm A}\) と \({\rm B}\) が勝つとき
　\({\rm A}\) と \({\rm C}\) が勝つとき

---

の \(2\) つの場合がある

---

\({\rm A}\) と \({\rm B}\) がグーで勝つとき、\({\rm C}\) はチョキを出すことになる

---

同様に \({\rm A}\) と \({\rm B}\) がチョキ、パーで勝つと \({\rm C}\) の出し方は \(1\) 通りに決まるので、\(3\) 通り

---

\({\rm A}\) と \({\rm C}\) が勝つ場合も同様に \(3\) 通り

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したがって、\({\rm A}\) を含む \(2\) 人が勝つのは \(3+3=6\) 通りとなるので、確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)

 
 

\({\small (3)}~\)だれも勝たないのは、あいこになるときである

---

あいこになるのは、

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　\({\small [\,1\,]}\) \(3\) 人の手が同じ
　\({\small [\,2\,]}\) \(3\) 人の手がすべて異なる

---

の \(2\) つの場合がある

---

\({\small [\,1\,]}\) \(3\) 人の手が同じのとき、

---

　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]グー & グー & グー
\\[-1pt]チョキ & チョキ & チョキ
\\[-1pt]パー & パー & パー
\end{array}\)

---

\(3\) 人ともグー or チョキ or パーの \(3\) 通りとなるので、確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) \(3\) 人の手がすべて異なるとき、

---

\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) つの枠に \(3\) つの手、グー、チョキ、パーを入れる順列となり、

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　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)

---

　\(3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6\) 通り

---

よって、確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の事象は互いに排反であるので、あいこになる確率は、確率の加法定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学A[713] p.70 問題 9
数研出版｜新編数学A[711] p.63 補充問題 5

\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) 人がそれぞれの手の出し方は、グー、チョキ、パーの \(3\) 通りずつあり、

---

　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)

---

　\(3 \times 3 \times 3=27\) 通り

---

すべての場合の数は \(27\) 通りあり、どの場合も同様に確からしい

 
 

\({\small (1)}~\)\({\rm A}\) だけがグーで勝つとき、\({\rm B}\) と \({\rm C}\) はチョキを出すことになる

---

同様に \({\rm A}\) がチョキ、パーで勝つと \({\rm B}\) と \({\rm C}\) の出し方は \(1\) 通りに決まる

---

　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]グー & チョキ & チョキ
\\[-1pt]チョキ & パー & パー
\\[-1pt]パー & グー & グー
\end{array}\)

---

したがって、\({\rm A}\) だけが勝つのは \(3\) 通りとなるので、確率は、

---

　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)

 
 

\({\small (2)}~\)\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) つの枠に \(3\) つの手、グー、チョキ、パーを入れる順列となり、

---

　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)

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　\(3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6\) 通り

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したがって、全員が違う手を出すのは \(6\) 通りとなるので、確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)

 
 

\({\small (3)}~\)誰も勝たない、すなわちあいこになるのは、

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　\({\small [\,1\,]}\) \(3\) 人の手が同じ
　\({\small [\,2\,]}\) \(3\) 人の手がすべて異なる

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の \(2\) つの場合がある

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\({\small [\,1\,]}\) \(3\) 人の手が同じのとき、

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　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]グー & グー & グー
\\[-1pt]チョキ & チョキ & チョキ
\\[-1pt]パー & パー & パー
\end{array}\)

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\(3\) 人ともグー or チョキ or パーの \(3\) 通りとなるので、確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(3\) 人の手がすべて異なるとき、

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\({\small (2)}\) より、\(6\) 通りなので、確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の事象は互いに排反であるので、あいこになる確率は、確率の加法定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学A[713] p.71 章末問題A 5

\(3\) 人がそれぞれの手の出し方は、グー、チョキ、パーの \(3\) 通りずつあり、

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　\(\begin{array}{ccc}
① & ② & ③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)

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　\(3 \times 3 \times 3=27\) 通り

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すべての場合の数は \(27\) 通りあり、どの場合も同様に確からしい
 
 
\({\small (1)}~\)

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\(1\) 回目で優勝者が決まるのは、\(1\) 人だけが勝つときである

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\(1\) 人だけがグーで勝つとき、残り \(2\) 人はチョキを出すことになる

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勝つ人は \(3\) 人のうちの誰かで \(3\) 通り、手の出し方はグー、チョキ、パーの \(3\) 通りなので、

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　\(3 \times 3=9\) 通り

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したがって、\(1\) 回目で優勝者が決まる確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

 
 

\({\small (2)}~\)

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\(1\) 回目終了後に \(2\) 人残っているのは、\(1\) 人だけが負けるときである

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\(1\) 人だけがグーで負けるとき、残り \(2\) 人はパーを出すことになる

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負ける人は \(3\) 人のうちの誰かで \(3\) 通り、手の出し方はグー、チョキ、パーの \(3\) 通りなので、

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　\(3 \times 3=9\) 通り

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したがって、\(1\) 回目終了後に \(2\) 人残っている確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

 
 

\({\small (3)}~\)

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ちょうど \(3\) 回目で優勝者が決まるには、

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　\({\small [\,1\,]}\) \(1\) 回目：\(3\) 人残る、\(2\) 回目：\(3\) 人残る、\(3\) 回目：優勝者が決まる
　\({\small [\,2\,]}\) \(1\) 回目：\(3\) 人残る、\(2\) 回目：\(2\) 人残る、\(3\) 回目：優勝者が決まる
　\({\small [\,3\,]}\) \(1\) 回目：\(2\) 人残る、\(2\) 回目：あいこ、\(3\) 回目：優勝者が決まる

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の \(3\) つの場合がある

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ここで、\(3\) 人でじゃんけんをするとき、

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　あいこになる確率：\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
　\(1\) 人だけが勝つ確率：\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
　\(1\) 人だけが負ける確率：\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

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また、\(2\) 人でじゃんけんをするとき、

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　あいこになる確率：\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
　勝負がつく確率：\(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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\({\small [\,1\,]}\) \(3\) 人→ \(3\) 人→優勝者決定のとき、

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　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(3\) 人→ \(3\) 人→ \(2\) 人残り→優勝者決定のとき、

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　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \times \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(3\) 人→ \(2\) 人残り→あいこ→優勝者決定のとき、

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　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \times \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}\)

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\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) 、\({\small [\,3\,]}\) の事象は互いに排反であるので、確率の加法定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,}\) となる