このページは、「独立試行の確率と和事象」の練習問題アーカイブページとなります。
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独立試行の確率と和事象 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01赤玉と白玉の入った \(3\) つの箱 \({\rm A}\)、\({\rm B}\)、\({\rm C}\) の中から玉を \(1\) 個取り出すとき、赤玉の出る確率は、それぞれ \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\) であるとする。各箱の中から玉を \(1\) 個ずつ取り出すとき、赤玉がちょうど \(2\) 個出る確率を求めよ。
数研出版｜新編数学A[711] p.65 章末問題B 11
各箱から赤玉、白玉を取り出す確率は、
箱 \({\rm A}\)：赤玉 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)、白玉 \(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
箱 \({\rm B}\)：赤玉 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、白玉 \(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
箱 \({\rm C}\)：赤玉 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)、白玉 \(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)
\(3\) つの箱から赤玉がちょうど \(2\) 個出るのは、
[1] \({\rm A}\) 赤、\({\rm B}\) 赤、\({\rm C}\) 白
[2] \({\rm A}\) 赤、\({\rm B}\) 白、\({\rm C}\) 赤
[3] \({\rm A}\) 白、\({\rm B}\) 赤、\({\rm C}\) 赤
の \(3\) つの場合がある
[1] \({\rm A}\) 赤、\({\rm B}\) 赤、\({\rm C}\) 白のとき、
これらの独立な試行より、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,30\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\)
[2] \({\rm A}\) 赤、\({\rm B}\) 白、\({\rm C}\) 赤のとき、
これらの独立な試行より、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,30\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}\)
[3] \({\rm A}\) 白、\({\rm B}\) 赤、\({\rm C}\) 赤のとき、
これらの独立な試行より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,30\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\)
[1]〜[3]は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}&=&\displaystyle \frac{\,3+2+1\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\rm A}\) は \(2\) 枚の硬貨、\({\rm B}\) は \(3\) 枚の硬貨をそれぞれ投げ、表の出た硬貨の枚数の多い方を勝ちとする。このとき、\({\rm A}\) の勝つ確率を求めよ。ただし、表の出た硬貨の枚数が同じ場合、または、ともに裏しか出ない場合は引き分けとする。
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.62 練習問題A 4
\({\rm A}\) は \(2\) 枚、\({\rm B}\) は \(3\) 枚の硬貨を投げるので、全事象は \(2^2 {\, \small \times \,} 2^3=32\) 通り
\({\rm A}\) の表の枚数ごとの場合の数は、
表 \(0\) 枚：\({}_2{\rm C}_0=1\) 通り
表 \(1\) 枚：\({}_2{\rm C}_1=2\) 通り
表 \(2\) 枚：\({}_2{\rm C}_2=1\) 通り
\({\rm B}\) の表の枚数ごとの場合の数は、
表 \(0\) 枚：\({}_3{\rm C}_0=1\) 通り
表 \(1\) 枚：\({}_3{\rm C}_1=3\) 通り
表 \(2\) 枚：\({}_3{\rm C}_2=3\) 通り
表 \(3\) 枚：\({}_3{\rm C}_3=1\) 通り
\({\rm A}\) が勝つのは、\({\rm A}\) の表の枚数が \({\rm B}\) より多い場合で、
[1] \({\rm A}\) が \(2\) 枚、\({\rm B}\) が \(0\) 枚
[2] \({\rm A}\) が \(2\) 枚、\({\rm B}\) が \(1\) 枚
[3] \({\rm A}\) が \(1\) 枚、\({\rm B}\) が \(0\) 枚
の \(3\) つの場合がある
[1] \({\rm A}\) が \(2\) 枚、\({\rm B}\) が \(0\) 枚のとき、
\(1 {\, \small \times \,} 1=1\) 通り
[2] \({\rm A}\) が \(2\) 枚、\({\rm B}\) が \(1\) 枚のとき、
\(1 {\, \small \times \,} 3=3\) 通り
[3] \({\rm A}\) が \(1\) 枚、\({\rm B}\) が \(0\) 枚のとき、
\(2 {\, \small \times \,} 1=2\) 通り
[1]〜[3]は互いに排反であるので、和事象より、
\(1+3+2=6\) 通り
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6\,}{\,32\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(2\) つの袋 \({\rm A}\)、\({\rm B}\) があり、\({\rm A}\) には赤球 \(3\) 個と白球 \(7\) 個、\({\rm B}\) には赤球 \(2\) 個と白球 \(3\) 個が入っている。\({\rm A}\)、\({\rm B}\) の袋から球を \(2\) 個ずつ取り出すとき、\(4\) 個の球がすべて同じ色になる確率を求めよ。
東京書籍｜Standard数学A[702] p.73 Training 20
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.61 Training 16
袋 \({\rm A}\) は赤球 \(3\) 個と白球 \(7\) 個の計 \(10\) 個から \(2\) 個取り出すので、\({}_{ 10}{\rm C}_2=45\) 通り
袋 \({\rm B}\) は赤球 \(2\) 個と白球 \(3\) 個の計 \(5\) 個から \(2\) 個取り出すので、\({}_5{\rm C}_2=10\) 通り
\(4\) 個の球がすべて同じ色になるのは、
[1] \(4\) 個とも赤球
[2] \(4\) 個とも白球
の \(2\) つの場合がある
[1] \(4\) 個とも赤球のとき、
袋 \({\rm A}\) から赤球 \(2\) 個を取り出す \(\displaystyle \frac{\,{}_3{\rm C}_2\,}{\,{}_{10}{\rm C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,45\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\)
袋 \({\rm B}\) から赤球 \(2\) 個を取り出す \(\displaystyle \frac{\,{}_2{\rm C}_2\,}{\,{}_5{\rm C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
これらの独立な試行より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,150\,}\)
[2] \(4\) 個とも白球のとき、
袋 \({\rm A}\) から白球 \(2\) 個を取り出す \(\displaystyle \frac{\,{}_7{\rm C}_2\,}{\,{}_{10}{\rm C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,21\,}{\,45\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,15\,}\)
袋 \({\rm B}\) から白球 \(2\) 個を取り出す \(\displaystyle \frac{\,{}_3{\rm C}_2\,}{\,{}_5{\rm C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
これらの独立な試行より、
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,15\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,21\,}{\,150\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,50\,}\)
[1]と[2]は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,150\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,50\,}&=&\displaystyle \frac{\,1+21\,}{\,150\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,22\,}{\,150\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,75\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,75\,}\) となる
