反復試行の確率と和事象

数研出版｜数学A[712] p.77 問題 10
数研出版｜数学A[104-901] p.77 問題 10

\(1\) 回の試行で白玉を取り出す事象 \(A\) の確率は、

---

---

これより、

---

　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,12\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)

---

また、白玉を取り出さない事象 \(\overline{A}\) の確率は、

---

　\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

---

「少なくとも \(2\) 回は白玉が出る」の余事象は「白玉が出ない、または白玉が \(1\) 回」となる

---

[1] 白玉が \(0\) 回のとき、

---

すべて赤玉となるので、

---

　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^6\,}\)

---

[2] 白玉が \(1\) 回のとき、

---

　\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,6\,回 & Aが\,1\,回 & \overline{A}が\,5\,回 \\[5pt]
\hline
{}_6{\rm C}_1 & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{array}\)

---

反復試行の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~{}_6{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^5&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3^6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,729\,}\end{eqnarray}\)

---

[1]と[2]は互いに排反であるので、和事象の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^6\,}+\displaystyle \frac{\,12\,}{\,729\,}&=&\displaystyle \frac{\,1+12\,}{\,729\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13\,}{\,729\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、少なくとも \(2\) 回は白玉が出る確率は、余事象の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,13\,}{\,729\,}&=&\displaystyle \frac{\,729-13\,}{\,729\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,716\,}{\,729\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,716\,}{\,729\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.63 練習問題B 10
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.63 練習問題B 11

赤球 \(4\) 個と白球 \(3\) 個の計 \(7\) 個から \(2\) 個取り出すので、全事象は \({}_7{\rm C}_2=21\) 通り

---

\(1\) 回の試行で取り出す赤球の個数ごとの確率は、

---

　赤球 \(0\) 個（白球 \(2\) 個）：\(\displaystyle \frac{\,{}_3{\rm C}_2\,}{\,{}_7{\rm C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,21\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\)

---

　赤球 \(1\) 個（白球 \(1\) 個）：\(\displaystyle \frac{\,{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} {}_3{\rm C}_1\,}{\,{}_7{\rm C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,21\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}\)

---

　赤球 \(2\) 個：\(\displaystyle \frac{\,{}_4{\rm C}_2\,}{\,{}_7{\rm C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,21\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\)

---

\(3\) 回で赤球の総数がちょうど \(4\) 個となるのは、

---

　[1] \((2~,~2~,~0)\) の並び
　[2] \((2~,~1~,~1)\) の並び

---

の \(2\) つの場合がある

---

[1] \(3\) 回のうち赤球 \(2\) 個が \(2\) 回、赤球 \(0\) 個が \(1\) 回のとき、

---

並び方は \(\displaystyle \frac{\,3!\,}{\,2!\,}=3\) 通りであるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,343\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,343\,}\end{eqnarray}\)

---

[2] \(3\) 回のうち赤球 \(2\) 個が \(1\) 回、赤球 \(1\) 個が \(2\) 回のとき、

---

並び方は \(\displaystyle \frac{\,3!\,}{\,2!\,}=3\) 通りであるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,} {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}\right)^2&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2 \cdot 16\,}{\,343\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,96\,}{\,343\,}\end{eqnarray}\)

---

[1]と[2]は互いに排反であるので、和事象の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,343\,}+\displaystyle \frac{\,96\,}{\,343\,}&=&\displaystyle \frac{\,108\,}{\,343\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,108\,}{\,343\,}\) となる

東京書籍｜Standard数学A[702] p.73 Training 21

\(1\) 個の商品に景品が入っている事象 \(A\) の確率は、

---

　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\)

---

また、景品が入っていない事象 \(\overline{A}\) の確率は、

---

　\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,5-1\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)

---

\({\small (1)}~\)

---

景品がちょうど \(3\) 個手に入るので、

---

　\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,4\,個 & Aが\,3\,個 & \overline{A}が\,1\,個 \\[5pt]
\hline
{}_4{\rm C}_3 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{array}\)

---

反復試行の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~{}_4{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^1&=&{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 4\,}{\,5^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,625\,}\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)

---

「景品が少なくとも \(1\) 個手に入る」の余事象は「景品が \(1\) 個も手に入らない」となる

---

すべて景品が入っていないので、

---

　\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,4^4\,}{\,5^4\,}=\displaystyle \frac{\,256\,}{\,625\,}\)

---

よって、景品が少なくとも \(1\) 個手に入る確率は、余事象の確率より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,256\,}{\,625\,}&=&\displaystyle \frac{\,625-256\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,369\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,369\,}{\,625\,}\) となる