このページは、「先にn勝で優勝する反復試行の確率」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
先にn勝で優勝する反復試行の確率 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01白玉 \(6\) 個、赤玉 \(4\) 個が入っている袋から玉を \(1\) 個取り出し、色を調べてからもとに戻す。この試行を \(5\) 回続けて行うとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) 白玉が \(4\) 回以上出る確率
\({\small (2)}~\) \(5\) 回目に \(2\) 度目の白玉が出る確率
\({\small (1)}~\) 白玉が \(4\) 回以上出る確率
\({\small (2)}~\) \(5\) 回目に \(2\) 度目の白玉が出る確率
数研出版｜数学A[712] p.62 練習52
数研出版｜数学A[104-901] p.62 練習52
\(1\) 回の試行で白玉を取り出す事象 \(A\) の確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)
また、赤玉を取り出す事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,5-3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)
\({\small (1)}~\)
\(5\) 回中 \(4\) 回以上白玉が出るのは、
[1] \(5\) 回とも白玉
[2] \(4\) 回が白玉で \(1\) 回が赤玉
の \(2\) つの場合がある
[1] \(5\) 回とも白玉のとき、
各回の試行は互いに独立であるので、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,3^5\,}{\,5^5\,}\)
[2] \(4\) 回が白玉で \(1\) 回が赤玉のとき、
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,5\,回 & Aが\,4\,回 & \overline{A}が\,1\,回 \\[5pt]
\hline
{}_5{\rm C}_4 & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_5{\rm C}_4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^1&=&{}_5{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^4\,}{\,5^4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&5 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2\,}{\,5^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2\,}{\,5^4\,}\end{eqnarray}\)
[1]と[2]は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3^5\,}{\,5^5\,}+\displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2\,}{\,5^4\,}&=&\displaystyle \frac{\,3^5\,}{\,5^5\,}+\displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2 \cdot 5\,}{\,5^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,243+810\,}{\,3125\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1053\,}{\,3125\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1053\,}{\,3125\,}\) となる
\({\small (2)}~\)
\(5\) 回目に \(2\) 度目の白玉が出るとは、\(1\) 回目〜 \(4\) 回目で白玉が \(1\) 回、赤玉が \(3\) 回出て、\(5\) 回目に白玉が出る場合であるので、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] Aが\,1\,回~,~\overline{A}が\,3\,回 & A
\end{array}\)
①〜④は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,5^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3^2 \cdot 2^3\,}{\,5^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,288\,}{\,3125\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,288\,}{\,3125\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\rm A}\)、\({\rm B}\) の \(2\) つのチームが試合を行い、先に \(3\) 勝したチームを優勝とする。\(1\) 回の試合で \({\rm A}\) が勝つ確率は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) で、引き分けは起こらないとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(3\) 試合目で優勝が決まる確率
\({\small (2)}~\) \({\rm A}\) が優勝する確率
\({\small (1)}~\) \(3\) 試合目で優勝が決まる確率
\({\small (2)}~\) \({\rm A}\) が優勝する確率
数研出版｜数学A[712] p.78 演習問題A 3
数研出版｜数学A[104-901] p.78 演習問題A 3
\(1\) 試合で \({\rm A}\) が勝つ確率は、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
これより、\({\rm A}\) が負ける確率は、
\(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
\({\small (1)}~\)
\(3\) 試合目で優勝が決まるのは、[1] \({\rm A}\) が \(3\) 連勝、または [2] \({\rm B}\) が \(3\) 連勝する場合である
[1] \({\rm A}\) が \(3\) 連勝のとき、
\(\begin{array}{ccc}
①&②&③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]{\rm A} & {\rm A} & {\rm A}
\end{array}\)
すべて \({\rm A}\) が勝つので、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}\)
[2] \({\rm B}\) が \(3\) 連勝のとき、
\(\begin{array}{ccc}
①&②&③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]{\rm B} & {\rm B} & {\rm B}
\end{array}\)
すべて \({\rm B}\) が勝つので、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}\)
[1]と[2]は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,27\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~\)
\({\rm A}\) が優勝するのは、[1] \(3\) 試合目、[2] \(4\) 試合目、[3] \(5\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝する場合がある
[1] \(3\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{ccc}
①&②&③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]{\rm A} & {\rm A} & {\rm A}
\end{array}\)
すべて \({\rm A}\) が勝つので、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
[2] \(4\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}1 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 試合目〜 \(3\) 試合目で \({\rm A}\) が \(2\) 勝 \(1\) 敗となり、\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が勝つ場合であるので、
①〜③は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_3{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&{}_3{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{3} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^{\cancel{4}3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
[3] \(5\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}2 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 試合目〜 \(4\) 試合目で \({\rm A}\) が \(2\) 勝 \(2\) 敗となり、\(5\) 試合目で \({\rm A}\) が勝つ場合であるので、
①〜④は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^2 \cdot \cancel{3}\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cancel{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}&=&\displaystyle \frac{\,24+24+16\,}{\,81\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,81\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,81\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03赤玉 \(6\) 個、白玉 \(4\) 個の入った袋から玉を \(1\) 個取り出し、色を見てからもとにもどす。この試行を \(5\) 回行うとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) 赤玉が \(4\) 回以上出る確率
\({\small (2)}~\) \(5\) 回目に \(2\) 度目の赤玉が出る確率
\({\small (1)}~\) 赤玉が \(4\) 回以上出る確率
\({\small (2)}~\) \(5\) 回目に \(2\) 度目の赤玉が出る確率
数研出版｜高等学校数学A[713] p.58 練習48
\(1\) 回の試行で赤玉を取り出す事象 \(A\) の確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)
また、白玉を取り出す事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,5-3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)
\({\small (1)}~\)
\(5\) 回中 \(4\) 回以上赤玉が出るのは、
[1] \(5\) 回とも赤玉
[2] \(4\) 回が赤玉で \(1\) 回が白玉
の \(2\) つの場合がある
[1] \(5\) 回とも赤玉のとき、
各回の試行は互いに独立であるので、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,3^5\,}{\,5^5\,}\)
[2] \(4\) 回が赤玉で \(1\) 回が白玉のとき、
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,5\,回 & Aが\,4\,回 & \overline{A}が\,1\,回 \\[5pt]
\hline
{}_5{\rm C}_4 & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_5{\rm C}_4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^1&=&{}_5{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^4\,}{\,5^4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&5 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2\,}{\,5^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2\,}{\,5^4\,}\end{eqnarray}\)
[1]と[2]は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3^5\,}{\,5^5\,}+\displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2\,}{\,5^4\,}&=&\displaystyle \frac{\,3^5\,}{\,5^5\,}+\displaystyle \frac{\,3^4 \cdot 2 \cdot 5\,}{\,5^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,243+810\,}{\,3125\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1053\,}{\,3125\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1053\,}{\,3125\,}\) となる
\({\small (2)}~\)
\(5\) 回目に \(2\) 度目の赤玉が出るとは、\(1\) 回目〜 \(4\) 回目で赤玉が \(1\) 回、白玉が \(3\) 回出て、\(5\) 回目に赤玉が出る場合であるので、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] Aが\,1\,回~,~\overline{A}が\,3\,回 & A
\end{array}\)
①〜④は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,5^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3^2 \cdot 2^3\,}{\,5^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,288\,}{\,3125\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,288\,}{\,3125\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04赤玉 \(2\) 個と白玉 \(4\) 個の入った袋から玉を \(1\) 個取り出し、色を見てからもとにもどす。この試行を \(6\) 回行うとき、\(6\) 回目に \(3\) 度目の赤玉が出る確率を求めよ。
数研出版｜新編数学A[711] p.63 補充問題6
\(1\) 回の試行で赤玉を取り出す事象 \(A\) の確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
また、白玉を取り出す事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\(6\) 回目に \(3\) 度目の赤玉が出るとは、\(1\) 回目〜 \(5\) 回目で赤玉が \(2\) 回、白玉が \(3\) 回出て、\(6\) 回目に赤玉が出る場合であるので、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④~~~~~⑤ & ⑥
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] Aが\,2\,回~,~\overline{A}が\,3\,回 & A
\end{array}\)
①〜⑤は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_5{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2 \cdot 2^3\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2^4\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,80\,}{\,729\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,80\,}{\,729\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\({\rm A}\)、\({\rm B}\) の \(2\) 人が \(1\) 枚ずつコインを投げ、\(2\) 人とも表なら \({\rm A}\) の勝ち、それ以外のときは \({\rm B}\) の勝ちとなるゲームを行う。このゲームを繰り返して、先に \(3\) 勝したほうを優勝とするとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(5\) 回目に \({\rm B}\) の優勝が決まる確率
\({\small (2)}~\) \({\rm B}\) が優勝する確率
\({\small (1)}~\) \(5\) 回目に \({\rm B}\) の優勝が決まる確率
\({\small (2)}~\) \({\rm B}\) が優勝する確率
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.52 問10
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.52 問10
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.53 問9
\(1\) 回のゲームで \({\rm A}\) が勝つ確率は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
これより、\({\rm B}\) が勝つ確率は、
\(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,4-1\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
\({\small (1)}~\)
\(5\) 回目に \({\rm B}\) の優勝が決まるとは、\(1\) 回目〜 \(4\) 回目で \({\rm B}\) が \(2\) 勝 \(2\) 敗となり、\(5\) 回目に \({\rm B}\) が勝つ場合であるので、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm B}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm A}{\small {\, \small \times \,}}2 & {\rm B}
\end{array}\)
①〜④は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^2\,}{\,4^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^3\,}{\,4^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 27\,}{\,1024\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,162\,}{\,1024\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,512\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^2\,}{\,4^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^3\,}{\,4^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 27\,}{\,1024\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,162\,}{\,1024\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,512\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,81\,}{\,512\,}\) となる
\({\small (2)}~\)
\({\rm B}\) が優勝するのは、[1] \(3\) 回目、[2] \(4\) 回目、[3] \(5\) 回目で \({\rm B}\) が優勝する場合がある
[1] \(3\) 回目で \({\rm B}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{ccc}
①&②&③
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]{\rm B} & {\rm B} & {\rm B}
\end{array}\)
すべて \({\rm B}\) が勝つので、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,27\,}{\,64\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
[2] \(4\) 回目で \({\rm B}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm B}{\small {\, \small \times \,}}2~,~{\rm A}{\small {\, \small \times \,}}1 & {\rm B}
\end{array}\)
\(1\) 回目〜 \(3\) 回目で \({\rm B}\) が \(2\) 勝 \(1\) 敗となり、\(4\) 回目に \({\rm B}\) が勝つ場合であるので、
①〜③は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_3{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^2\,}{\,4^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 3^3\,}{\,4^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^4\,}{\,4^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,256\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
[3] \(5\) 回目で \({\rm B}\) が優勝するとき、
(1) より、
\(\displaystyle \frac{\,81\,}{\,512\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,27\,}{\,64\,}+\displaystyle \frac{\,81\,}{\,256\,}+\displaystyle \frac{\,81\,}{\,512\,}&=&\displaystyle \frac{\,216+162+81\,}{\,512\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,459\,}{\,512\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,459\,}{\,512\,}\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(1\) 個のさいころを投げて、\(4\) 以下の目が出れば駒を \(1\) つ進め、\(5\) 以上の目が出れば駒を動かさないというすごろくゲームを行う。今、あと \(4\) つ進むと上がりになる所に駒があるとき、さいころを投げる回数が \(6\) 回以下で上がりとなる確率を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.62 練習問題A 6
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.62 練習問題A 6
\(1\) 個のさいころを投げて \(4\) 以下の目が出る事象 \(A\) は、
全事象が \(\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6\,\}\)
\(4\) 以下の目は \(\{\,1~,~2~,~3~,~4\,\}\)
これより、確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
また、\(5\) 以上の目が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
あと \(4\) つ進むと上がりなので、\(4\) 以下の目が \(4\) 回出れば上がりとなる
\(6\) 回以下で上がりとなるのは、[1] \(4\) 回目、[2] \(5\) 回目、[3] \(6\) 回目で上がりとなる場合がある
[1] \(4\) 回目で上がりのとき、
\(\begin{array}{cccc}
①&②&③&④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]A & A & A & A
\end{array}\)
すべて \(4\) 以下の目が出るので、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^4\,}=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
[2] \(5\) 回目で上がりのとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] Aが\,3\,回~,~\overline{A}が\,1\,回 & A
\end{array}\)
\(1\) 回目〜 \(4\) 回目で \(A\) が \(3\) 回、\(\overline{A}\) が \(1\) 回となり、\(5\) 回目に \(A\) が起こる場合であるので、
①〜④は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 2^4\,}{\,3^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,243\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
[3] \(6\) 回目で上がりのとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④~~~~~⑤ & ⑥
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] Aが\,3\,回~,~\overline{A}が\,2\,回 & A
\end{array}\)
\(1\) 回目〜 \(5\) 回目で \(A\) が \(3\) 回、\(\overline{A}\) が \(2\) 回となり、\(6\) 回目に \(A\) が起こる場合であるので、
①〜⑤は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_5{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2 \cdot 2^4\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2^5\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,160\,}{\,729\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,3^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2 \cdot 2^4\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2^5\,}{\,3^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,160\,}{\,729\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,16\,}{\,81\,}+\displaystyle \frac{\,64\,}{\,243\,}+\displaystyle \frac{\,160\,}{\,729\,}&=&\displaystyle \frac{\,144+192+160\,}{\,729\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,496\,}{\,729\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,496\,}{\,729\,}\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\({\rm A}\)、\({\rm B}\) の \(2\) 人が \(1\) 個ずつさいころを投げ、両方とも奇数なら \({\rm A}\) の勝ち、それ以外のときは \({\rm B}\) の勝ちとなるゲームを行う。このゲームを繰り返して、先に \(4\) 回勝った方が優勝とするとき、\({\rm A}\) が優勝する確率を求めよ。
東京書籍｜Standard数学A[702] p.65 Challenge 問1
\(1\) 回のゲームで \({\rm A}\) が勝つ確率は、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
これより、\({\rm B}\) が勝つ確率は、
\(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,4-1\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
\({\rm A}\) が優勝するのは、[1] \(4\) 回目、[2] \(5\) 回目、[3] \(6\) 回目、[4] \(7\) 回目で \({\rm A}\) が優勝する場合がある
[1] \(4\) 回目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{cccc}
①&②&③&④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]{\rm A} & {\rm A} & {\rm A} & {\rm A}
\end{array}\)
すべて \({\rm A}\) が勝つので、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^4=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,256\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
[2] \(5\) 回目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}3~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}1 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 回目〜 \(4\) 回目で \({\rm A}\) が \(3\) 勝 \(1\) 敗となり、\(5\) 回目に \({\rm A}\) が勝つ場合であるので、
①〜④は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_4{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,4^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,256\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
[3] \(6\) 回目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④~~~~~⑤ & ⑥
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}3~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}2 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 回目〜 \(5\) 回目で \({\rm A}\) が \(3\) 勝 \(2\) 敗となり、\(6\) 回目に \({\rm A}\) が勝つ場合であるので、
①〜⑤は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&10 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^2\,}{\,4^2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9\,}{\,4^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,4096\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2048\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
[4] \(7\) 回目で \({\rm A}\) が優勝するとき、
\(\begin{array}{c|c}
①~~~~~②~~~~~③~~~~~④~~~~~⑤~~~~~⑥ & ⑦
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}}~\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-3pt] {\rm A}{\small {\, \small \times \,}}3~,~{\rm B}{\small {\, \small \times \,}}3 & {\rm A}
\end{array}\)
\(1\) 回目〜 \(6\) 回目で \({\rm A}\) が \(3\) 勝 \(3\) 敗となり、\(7\) 回目に \({\rm A}\) が勝つ場合であるので、
①〜⑥は反復試行の確率であり、確率は独立であるので積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&20 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3^3\,}{\,4^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,20 \cdot 27\,}{\,4^7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,540\,}{\,16384\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,135\,}{\,4096\,}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,4\,]\) は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,256\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,256\,}+\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2048\,}+\displaystyle \frac{\,135\,}{\,4096\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16+48+90+135\,}{\,4096\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,289\,}{\,4096\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,289\,}{\,4096\,}\) となる
