このページは、「点の移動と反復試行の確率」の練習問題アーカイブページとなります。
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点の移動と反復試行の確率 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\) 枚の硬貨を投げて、表が出たときには数直線上の点 \({\rm P}\) は正の向きに \(2\) だけ進み、裏が出たときには \({\rm P}\) は負の向きに \(1\) だけ進む。硬貨を \(9\) 回続けて投げたとき、\({\rm P}\) がもとの位置に戻っている確率を求めよ。
数研出版｜数学A[712] p.77 問題 11
数研出版｜数学A[104-901] p.77 問題 11
数研出版｜新編数学A[711] p.65 章末問題B 12
\(1\) 枚の硬貨を投げて表が出る事象 \(A\) は、
これより、確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
また、裏が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
この試行を \(9\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、
\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(+2) & \overline{A}~(-1) \\[5pt]
\hline
9~回 & r~回 & 9-r~回
\end{array}\)
\(A\) のとき \(+2\)、\(\overline{A}\) のとき \(-1\)より、\(9\) 回目での点の座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (+2)+(9-r) {\, \small \times \,} (-1)\\[3pt]~~~&=&2r-9+r\\[3pt]~~~&=&3r-9\end{eqnarray}\)
ここで、原点に戻るときは、
\(\begin{eqnarray}~~~3r-9&=&0\\[3pt]~~~3r&=&9\\[3pt]~~~r&=&3\end{eqnarray}\)
よって、事象 \(A\) が \(3\) 回起こる
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,9\,回 & Aが\,3\,回 & \overline{A}が\,6\,回 \\[5pt]
\hline
{}_9{\rm C}_3 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_9{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{9}^3 \cdot \cancel{8}^4 \cdot 7\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 4 \cdot 7\,}{\,2^9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,84\,}{\,512\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,128\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,21\,}{\,128\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\rm A}\)、\({\rm B}\) の \(2\) 人がそれぞれ、\({\rm A}\) は \(12\) 枚の硬貨を、\({\rm B}\) は \(6\) 枚の硬貨を持っている。\(1\) 個のさいころを投げて、奇数の目が出ると、\({\rm A}\) が \({\rm B}\) に \(2\) 枚の硬貨を渡し、偶数の目が出ると、\({\rm B}\) が \({\rm A}\) に \(1\) 枚の硬貨を渡すものとする。さいころを \(6\) 回続けて投げたとき、\({\rm A}\)、\({\rm B}\) ともに、同じ枚数の硬貨を持っている確率を求めよ。
数研出版｜数学A[712] p.79 演習問題B 10
数研出版｜数学A[104-901] p.79 演習問題B 10
\(1\) 個のさいころを投げて奇数の目が出る事象 \(A\) は、
全事象が \(\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6\,\}\)
奇数の目は \(\{\,1~,~3~,~5\,\}\)
これより、確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
また、偶数の目が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\rm A}\) と \({\rm B}\) の硬貨の合計は \(12+6=18\) 枚なので、同じ枚数のとき各 \(9\) 枚となる
よって、\({\rm A}\) の硬貨が \(12\) 枚から \(9\) 枚になるので、変化量は \(-3\)
この試行を \(6\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、
\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(-2) & \overline{A}~(+1) \\[5pt]
\hline
6~回 & r~回 & 6-r~回
\end{array}\)
\(A\) のとき \(-2\)、\(\overline{A}\) のとき \(+1\) より、\(6\) 回後の \({\rm A}\) の硬貨の変化量は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (-2)+(6-r) {\, \small \times \,} (+1)\\[3pt]~~~&=&-2r+6-r\\[3pt]~~~&=&-3r+6\end{eqnarray}\)
ここで、変化量が \(-3\) となるときは、
\(\begin{eqnarray}~~~-3r+6&=&-3\\[3pt]~~~-3r&=&-9\\[3pt]~~~r&=&3\end{eqnarray}\)
よって、事象 \(A\) が \(3\) 回起こる
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,6\,回 & Aが\,3\,回 & \overline{A}が\,3\,回 \\[5pt]
\hline
{}_6{\rm C}_3 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_6{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6} \cdot 5 \cdot 4\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6} \cdot 5 \cdot 4\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4\,}{\,2^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,16\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03数直線上を動く点 \({\rm P}\) が原点の位置にある。\(1\) 個のさいころを投げて、\(3\) の倍数の目が出たときは \({\rm P}\) を正の向きに \(1\) だけ進め、\(3\) の倍数でない目が出たときは \({\rm P}\) を負の向きに \(1\) だけ進める。さいころを \(5\) 回投げ終わったとき、\({\rm P}\) の座標が \(3\) である確率を求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[713] p.70 問題 11
\(1\) 個のさいころを投げて \(3\) の倍数の目が出る事象 \(A\) は、
全事象が \(\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6\,\}\)
\(3\) の倍数の目は \(\{\,3~,~6\,\}\)
これより、確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
また、\(3\) の倍数でない目が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
この試行を \(5\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、
\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(+1) & \overline{A}~(-1) \\[5pt]
\hline
5~回 & r~回 & 5-r~回
\end{array}\)
\(A\) のとき \(+1\)、\(\overline{A}\) のとき \(-1\) より、\(5\) 回後の点の座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (+1)+(5-r) {\, \small \times \,} (-1)\\[3pt]~~~&=&r-5+r\\[3pt]~~~&=&2r-5\end{eqnarray}\)
ここで、座標が \(3\) となるときは、
\(\begin{eqnarray}~~~2r-5&=&3\\[3pt]~~~2r&=&8\\[3pt]~~~r&=&4\end{eqnarray}\)
よって、事象 \(A\) が \(4\) 回起こる
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,5\,回 & Aが\,4\,回 & \overline{A}が\,1\,回 \\[5pt]
\hline
{}_5{\rm C}_4 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5{\rm C}_4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^1
\\[5pt]~~~&=&{}_5{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&5 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,243\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,243\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(1\) 辺の長さが \(1\) の正方形 \({\rm ABCD}\) がある。また、硬貨を投げて、表ならば \(2\) だけ、裏ならば \(1\) だけ左まわりに、この正方形の辺上を動く点 \({\rm P}\) がある。頂点 \({\rm A}\) を出発点とするとき、硬貨を \(3\) 回投げて、点 \({\rm P}\) がちょうど頂点 \({\rm A}\) に到達する確率を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.60 問題 16
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.60 問題 17
\(1\) 枚の硬貨を投げて表が出る事象 \(A\) は、
これより、確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
また、裏が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
正方形の周の長さは \(4\) なので、頂点 \({\rm A}\) に戻るには移動量が \(4\) の倍数になればよい
この試行を \(3\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、
\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(+2) & \overline{A}~(+1) \\[5pt]
\hline
3~回 & r~回 & 3-r~回
\end{array}\)
\(A\) のとき \(+2\)、\(\overline{A}\) のとき \(+1\) より、\(3\) 回後の移動量は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (+2)+(3-r) {\, \small \times \,} (+1)\\[3pt]~~~&=&2r+3-r\\[3pt]~~~&=&r+3\end{eqnarray}\)
ここで、移動量が \(4\) の倍数となるときは、
\(r+3=4\) より、\(r=1\)
（\(r+3=8\) のとき \(r=5\) で不適、\(r+3=0\) のとき \(r=-3\) で不適）
よって、事象 \(A\) が \(1\) 回起こる
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,3\,回 & Aが\,1\,回 & \overline{A}が\,2\,回 \\[5pt]
\hline
{}_3{\rm C}_1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_3{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05点 \({\rm P}\) は、数直線上の原点 \({\rm O}\) から出発し、さいころの出る目が奇数ならば \(+1\) だけ、偶数ならば \(-1\) だけ移動する。さいころを \(8\) 回投げて、\({\rm P}\) がちょうど次の点にくる確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) 原点 \({\rm O}\)
\({\small (2)}~\) 点 \({\rm A}(2)\)
\({\small (1)}~\) 原点 \({\rm O}\)
\({\small (2)}~\) 点 \({\rm A}(2)\)
東京書籍｜Standard数学A[702] p.73 Training 22
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.61 Training 18
\(1\) 個のさいころを投げて奇数の目が出る事象 \(A\) は、
全事象が \(\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6\,\}\)
奇数の目は \(\{\,1~,~3~,~5\,\}\)
これより、確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
また、偶数の目が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (1)}~\)
この試行を \(8\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、
\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(+1) & \overline{A}~(-1) \\[5pt]
\hline
8~回 & r~回 & 8-r~回
\end{array}\)
\(A\) のとき \(+1\)、\(\overline{A}\) のとき \(-1\) より、\(8\) 回後の点の座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (+1)+(8-r) {\, \small \times \,} (-1)\\[3pt]~~~&=&r-8+r\\[3pt]~~~&=&2r-8\end{eqnarray}\)
ここで、原点 \({\rm O}\) に戻るときは、
\(\begin{eqnarray}~~~2r-8&=&0\\[3pt]~~~2r&=&8\\[3pt]~~~r&=&4\end{eqnarray}\)
よって、事象 \(A\) が \(4\) 回起こる
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,8\,回 & Aが\,4\,回 & \overline{A}が\,4\,回 \\[5pt]
\hline
{}_8{\rm C}_4 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_8{\rm C}_4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^4 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{8} \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot 5\,}{\,\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 5\,}{\,2^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,128\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,128\,}\) となる
\({\small (2)}~\)
点 \({\rm A}\) の座標は \(2\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2r-8&=&2\\[3pt]~~~2r&=&10\\[3pt]~~~r&=&5\end{eqnarray}\)
よって、事象 \(A\) が \(5\) 回起こる
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,8\,回 & Aが\,5\,回 & \overline{A}が\,3\,回 \\[5pt]
\hline
{}_8{\rm C}_5 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_8{\rm C}_5 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^5 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3
\\[5pt]~~~&=&{}_8{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7 \cdot 6\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7 \cdot \cancel{6}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,32\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,32\,}\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(1\) 辺の長さが \(1\) の正方形 \({\rm ABCD}\) がある。また、硬貨を投げて表ならば \(2\) だけ、裏ならば \(1\) だけ左回りにこの正方形の辺上を動く点 \({\rm P}\) がある。頂点 \({\rm A}\) を出発点とするとき、硬貨を \(8\) 回投げて、\({\rm P}\) がちょうど頂点 \({\rm C}\) に到達する確率を求めよ。
東京書籍｜Standard数学A[702] p.75 Level Up 10
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.63 Level Up 9
\(1\) 枚の硬貨を投げて表が出る事象 \(A\) は、
これより、確率は、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
また、裏が出る事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
正方形の周の長さは \(4\) で、\({\rm A}\) から \({\rm C}\) までは左回りに \(2\) なので、移動量を \(4\) で割った余りが \(2\) になればよい
この試行を \(8\) 回繰り返したとき、事象 \(A\) が \(r\) 回起こったとすると、
\(\begin{array}{c|c|c}
計 & A~(+2) & \overline{A}~(+1) \\[5pt]
\hline
8~回 & r~回 & 8-r~回
\end{array}\)
\(A\) のとき \(+2\)、\(\overline{A}\) のとき \(+1\) より、\(8\) 回後の移動量は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&r {\, \small \times \,} (+2)+(8-r) {\, \small \times \,} (+1)\\[3pt]~~~&=&2r+8-r\\[3pt]~~~&=&r+8\end{eqnarray}\)
ここで、移動量を \(4\) で割った余りが \(2\) となるときは、
\(r+8=4k+2\)（\(k\) は自然数）より、\(r=4k-6\)
\(0{\small ~≦~}r{\small ~≦~}8\) の範囲で、
\(k=2\) のとき \(r=2\)
\(k=3\) のとき \(r=6\)
よって、[1] 事象 \(A\) が \(2\) 回起こる場合と、[2] 事象 \(A\) が \(6\) 回起こる場合がある
[1] 事象 \(A\) が \(2\) 回起こるとき、
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,8\,回 & Aが\,2\,回 & \overline{A}が\,6\,回 \\[5pt]
\hline
{}_8{\rm C}_2 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_8{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 7\,}{\,2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,28\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2^6\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
[2] 事象 \(A\) が \(6\) 回起こるとき、
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,8\,回 & Aが\,6\,回 & \overline{A}が\,2\,回 \\[5pt]
\hline
{}_8{\rm C}_6 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_8{\rm C}_6 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^6 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&{}_8{\rm C}_2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,28\,}{\,2^8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2^6\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
[1]と[2]は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2^6\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2^6\,}&=&\displaystyle \frac{\,14\,}{\,64\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,32\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,32\,}\) となる
