最大値・最小値をとる確率

数研出版｜新編数学A[711] p.64 章末問題A 6

\({\small (1)}~\)

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\(1\) から \(9\) までの \(9\) 枚の番号札から \(4\) 枚選ぶので、

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全部が \(6\) 以下のとき、\(1\) 〜 \(6\) の \(6\) 枚から \(4\) 枚選ぶことになるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{}_6{\rm C}_4\,}{\,{}_9{\rm C}_4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,126\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,42\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,42\,}\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)

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最大の番号が \(7\) 以上であるのは、全部が \(6\) 以下の余事象であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,42\,}&=&\displaystyle \frac{\,42-5\,}{\,42\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,37\,}{\,42\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,37\,}{\,42\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.62 練習問題A 7

\({\small (1)}~\)

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\({\rm A}\)、\({\rm B}\)、\({\rm C}\) の \(3\) 個のさいころで出る目の最大値が \(4\) 以下のとき、

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すべてのさいころで出る目が \(1\) 〜 \(4\)であり、

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　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]1 \sim 4 & 1 \sim 4 & 1 \sim 4
\end{array}\)

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　\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,64\,}{\,216\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)

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最大値が \(4\) となるのは、出る目の最大値が \(4\) 以下で、少なくとも \(1\) つが \(4\) であるので、

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出る目の最大値が \(3\) 以下の確率を引けばよい

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すべてのさいころの出る目が \(1\) 〜 \(3\) であるので、

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　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-3pt]1 \sim 3 & 1 \sim 3 & 1 \sim 3
\end{array}\)

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　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,27\,}{\,216\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,64\,}{\,216\,}-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,216\,}&=&\displaystyle \frac{\,37\,}{\,216\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,37\,}{\,216\,}\) となる