このページは、「三角形と比の定理と中点連結定理」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
三角形と比の定理と中点連結定理 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01四面体 \({\rm ABCD}\) の辺の中点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}\) を次の図のようにとる。四角形 \({\rm PQRS}\) は平行四辺形であることを示せ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.123 章末問題A 5
数研出版｜新編数学A[104-904] p.112 章末問題A 5
[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm P}~,~{\rm Q}\) はそれぞれ辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}\) の中点なので、中点連結定理より、
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm AC}\)
また、\(\triangle {\rm ACD}\) において、\({\rm S}~,~{\rm R}\) はそれぞれ辺 \({\rm AD}~,~{\rm CD}\) の中点なので、中点連結定理より、
\({\rm SR}\,/\!/\,{\rm AC}\)
よって、
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm SR}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
同様にして、\({\rm PS}\,/\!/\,{\rm QR}\) であるから、
\({\rm PS}\,/\!/\,{\rm QR}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の対辺がそれぞれ平行である
したがって、四角形 \({\rm PQRS}\) は平行四辺形である [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) 上に、それぞれ点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) があるとき
\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm PQ}:{\rm BC} \Longrightarrow {\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\)
は成り立たない。このことを図を用いて確かめよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.82 問題 6
[証明]
\({\rm PR}\,/\!/\,{\rm BC}~,~{\rm PR}={\rm PQ}\) であるような次の図を考えると、
\({\rm PR}\,/\!/\,{\rm BC}\) であり、三角形と線分の比の関係より、
\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm PR}:{\rm BC}\)
ここで、\({\rm PR}={\rm PQ}\) なので、
\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm PQ}:{\rm BC}\)
よって、\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm PQ}:{\rm BC}\) が成り立つが、点 \({\rm Q}\) は点 \({\rm R}\) とは異なる点なので、\({\rm PQ}\) は \({\rm BC}\) に平行ではない
したがって、\({\rm AP}:{\rm AB}={\rm PQ}:{\rm BC} \Longrightarrow {\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) は成り立たない [終]
