このページは、「三角形の角の二等分線と比」の練習問題アーカイブページとなります。
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三角形の角の二等分線と比 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とし、\(\angle {\rm AMB}\) の二等分線が \({\rm AB}\) と交わる点を \({\rm D}\) 、\(\angle {\rm AMC}\) の二等分線が \({\rm AC}\) と交わる点を \({\rm E}\) とする。このとき、\({\rm DE}\,/\!/\,{\rm BC}\) であることを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.128 演習問題A 1
東京書籍｜Advanced数学A[701] p.72 問9
[証明]
\({\rm MD}~,~{\rm ME}\) はそれぞれ \(\angle {\rm AMB}~,~\angle {\rm AMC}\) の二等分線であるので、
\(\triangle {\rm AMB}\) において、角の二等分線と比の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm MA}:{\rm MB}={\rm AD}:{\rm DB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm AMC}\) において、角の二等分線と比の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm MA}:{\rm MC}={\rm AE}:{\rm EC}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点なので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm MB}={\rm MC}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}:{\rm DB}={\rm AE}:{\rm EC}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AD}:{\rm DB}={\rm AE}:{\rm EC}\) より、\({\rm DE}\,/\!/\,{\rm BC}\) となる [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) の内心 \({\rm I}\) を通り、辺 \({\rm BC}\) に平行な直線と辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の交点を、それぞれ \({\rm P}~,~{\rm Q}\) とするとき、\({\rm PQ}={\rm PB}+{\rm QC}\) であることを証明せよ。
数研出版｜新編数学A[104-904] p.113 章末問題B 6
[証明]
\({\rm I}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内心なので、\({\rm BI}\) は \(\angle {\rm B}\) の二等分線となるので、
\(\angle {\rm PBI}=\angle {\rm CBI}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) より、錯角が等しいので、
\(\angle {\rm PIB}=\angle {\rm CBI}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm PBI}=\angle {\rm PIB}\)
よって、\(\triangle {\rm PBI}\) は二等辺三角形となるので、
\({\rm PB}={\rm PI}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
同様にして、\({\rm CI}\) は \(\angle {\rm C}\) の二等分線であり、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) より、\(\triangle {\rm QCI}\) は二等辺三角形となるので、
\({\rm QC}={\rm QI}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&{\rm PI}+{\rm QI}
\\[3pt]~~~&=&{\rm PB}+{\rm QC}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm PQ}={\rm PB}+{\rm QC}\) となる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) 上に点 \({\rm D}\) をとって \(\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ACD}={\rm AB}:{\rm AC}\) となるようにすると、\({\rm AD}\) は \(\angle {\rm A}\) を \(2\) 等分することを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.82 問題 2
[証明]
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) は、底辺をそれぞれ \({\rm BD}~,~{\rm DC}\) とみると、高さが等しいので、
\(\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ACD}={\rm BD}:{\rm DC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、仮定より、
\(\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ACD}={\rm AB}:{\rm AC}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm BD}:{\rm DC}={\rm AB}:{\rm AC}\)
よって、点 \({\rm D}\) が辺 \({\rm BC}\) を \({\rm BD}:{\rm DC}={\rm AB}:{\rm AC}\) に内分するので、
角の二等分線と比の定理の逆より、
したがって、\({\rm AD}\) は \(\angle {\rm A}\) を \(2\) 等分する [終]
