このページは、「三角形の内心と角度」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の内心を \({\rm I}\) とし、直線 \({\rm AI}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) の外接円との交点を \({\rm D}\) とするとき、\({\rm DB}={\rm DC}={\rm DI}\) である。このことを証明せよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.124 章末問題B 6
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.114 練習問題A 5
[証明]
\({\rm I}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内心なので、\({\rm AD}\) は \(\angle {\rm BAC}\) の二等分線となるので、
\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm CAD}\)
よって、等しい円周角に対する弧は等しいので、
\(\stackrel{\frown}{\rm DB}=\stackrel{\frown}{\rm DC}\)
これより、
\({\rm DB}={\rm DC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、\(\angle {\rm IBD}\) は、
\(\angle {\rm IBD}=\angle {\rm DBC}+\angle {\rm CBI}\)
\(\triangle {\rm ABI}\) の外角より、\(\angle {\rm BID}\) は、
\(\angle {\rm BID}=\angle {\rm BAD}+\angle {\rm IBA}\)
ここで、\({\rm I}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内心なので、
\(\angle {\rm CBI}=\angle {\rm IBA}\)
また、\(\stackrel{\frown}{\rm DC}\) に対する円周角より、
\(\angle {\rm DBC}=\angle {\rm DAC}=\angle {\rm BAD}\)
よって、\(\angle {\rm IBD}=\angle {\rm BID}\) より、\(\triangle {\rm DBI}\) は二等辺三角形となるので、
\({\rm DB}={\rm DI}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm DB}={\rm DC}={\rm DI}\) となる [終]
