このページは、「外角の二等分線の交点（傍心）」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
外角の二等分線の交点（傍心） で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の \(3\) つの傍心をそれぞれ \({\rm J}~,~{\rm J}^{\prime}~,~{\rm J}^{\prime\prime}\) とするとき、\(\triangle {\rm JJ}^{\prime}{\rm J}^{\prime\prime}\) の垂心は、\(\triangle {\rm ABC}\) の内心と一致することを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.75 参考 問1
[証明]
\(\angle {\rm A}~,~\angle {\rm B}~,~\angle {\rm C}\) に対する傍心がそれぞれ \({\rm J}~,~{\rm J}^{\prime}~,~{\rm J}^{\prime\prime}\) であるとき、\({\rm AJ}~,~{\rm BJ}^{\prime}~,~{\rm CJ}^{\prime\prime}\) はそれぞれの内角の二等分線であるので、
その交点は \(\triangle {\rm ABC}\) の内心 \({\rm I}\) と一致する
次に、\({\rm AJ}^{\prime}~,~{\rm AJ}^{\prime\prime}\) はともに \(\angle {\rm A}\) の外角の二等分線であるので、
\(\angle {\rm J}^{\prime}{\rm AC}=\angle {\rm J}^{\prime\prime}{\rm AB}=a\)
また、\({\rm AJ}\) は \(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線であるので、
\(\angle {\rm CAJ}=\angle {\rm BAJ}=b\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a+a+b+b&=&180^\circ
\\[3pt]~~~a+b&=&90^\circ\end{eqnarray}\)
これより、
\(\angle {\rm JAJ}^{\prime}=\angle {\rm JAJ}^{\prime\prime}=90^\circ\)
よって、\({\rm AJ}\) と \({\rm J}^{\prime}{\rm J}^{\prime\prime}\) は垂直である
同様に考えて、\({\rm BJ}^{\prime}\) と \({\rm JJ}^{\prime\prime}\) は垂直であり、\({\rm CJ}^{\prime\prime}\) と \({\rm JJ}^{\prime}\) は垂直である
これより、内心 \({\rm I}\) は \(\triangle {\rm JJ}^{\prime}{\rm J}^{\prime\prime}\) の \(3\) 頂点から対辺に下ろした垂線上にあるので、\(\triangle {\rm JJ}^{\prime}{\rm J}^{\prime\prime}\) の垂心でもある
したがって、\(\triangle {\rm JJ}^{\prime}{\rm J}^{\prime\prime}\) の垂心と \(\triangle {\rm ABC}\) の内心は一致する [終]
