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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01平行四辺形 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm BC}~,~{\rm CD}\) の中点をそれぞれ \({\rm M}~,~{\rm N}\) とし、\({\rm AM}~,~{\rm AN}\) と対角線 \({\rm BD}\) の交点をそれぞれ \({\rm P}~,~{\rm Q}\) とすると、\({\rm BP}={\rm PQ}={\rm QD}\) となることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.114 練習問題A 1
[証明]
対角線 \({\rm AC}\) を引き、\({\rm BD}\) との交点を \({\rm R}\) とすると、
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、
\({\rm AR}={\rm CR}~,~{\rm BR}={\rm DR}\)
次に、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm R}\) は辺 \({\rm AC}\) の中点、\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点なので、\({\rm BR}~,~{\rm AM}\) は中線となる
よって、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心となるので、
\({\rm BP}:{\rm PR}=2:1\)
同様に、\(\triangle {\rm ACD}\) において、\({\rm R}\) は辺 \({\rm AC}\) の中点、\({\rm N}\) は辺 \({\rm CD}\) の中点なので、\({\rm DR}~,~{\rm AN}\) は中線となる
よって、点 \({\rm Q}\) は \(\triangle {\rm ACD}\) の重心となるので、
\({\rm DQ}:{\rm QR}=2:1\)
ここで、\({\rm BR}={\rm DR}\) であり、点 \({\rm R}\) は線分 \({\rm BD}\) を同じ比に分けるので、
\({\rm BP}:{\rm PR}={\rm DQ}:{\rm QR}=2:1\)
これより、
\({\rm BP}={\rm DQ}~,~{\rm PR}={\rm QR}\)
また、
\({\rm PQ}={\rm PR}+{\rm QR}=2{\rm PR}\)
\({\rm BP}=2{\rm PR}\) であり、\({\rm DQ}=2{\rm QR}=2{\rm PR}\) なので、
したがって、\({\rm BP}={\rm PQ}={\rm QD}\) となる [終]
