このページは、「三角形の垂心の位置」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm PQR}\) の辺 \({\rm QR}~,~{\rm RP}~,~{\rm PQ}\) の中点を、それぞれ \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) とする。\(\triangle {\rm ABC}\) において、各頂点から向かい合う辺に下ろした \(3\) 本の垂線は、\(\triangle {\rm PQR}\) の外心で交わることを証明せよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.111 問題 1
数研出版｜新編数学A[104-904] p.101 補充問題 1
[証明]
\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) はそれぞれ辺 \({\rm QR}~,~{\rm RP}~,~{\rm PQ}\) の中点なので、中点連結定理より、
\({\rm BC}\,/\!/\,{\rm QR}~,~{\rm CA}\,/\!/\,{\rm RP}~,~{\rm AB}\,/\!/\,{\rm PQ}\)
次に、頂点 \({\rm A}\) から辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を考えると、
\({\rm BC}\,/\!/\,{\rm QR}\) より、この垂線は辺 \({\rm QR}\) とも垂直になる
また、\({\rm A}\) は辺 \({\rm QR}\) の中点なので、この垂線は辺 \({\rm QR}\) の垂直二等分線となる
同様に、頂点 \({\rm B}\) から辺 \({\rm CA}\) に下ろした垂線は辺 \({\rm RP}\) の垂直二等分線、頂点 \({\rm C}\) から辺 \({\rm AB}\) に下ろした垂線は辺 \({\rm PQ}\) の垂直二等分線となる
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の \(3\) 本の垂線は、\(\triangle {\rm PQR}\) の \(3\) 辺の垂直二等分線と一致する
ここで、三角形の \(3\) 辺の垂直二等分線は \(1\) 点（外心）で交わる
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) の \(3\) 本の垂線は、\(\triangle {\rm PQR}\) の外心で交わる [終]
