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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01正三角形 \({\rm ABC}\) とその外接円がある。\({\rm A}\) を含まない弧 \({\rm BC}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) に対して、\({\rm AP}={\rm BP}+{\rm CP}\) が成り立つことを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.115 問10
[証明]
線分 \({\rm PC}\) の \({\rm C}\) の方への延長上に、\(\triangle {\rm APQ}\) が正三角形となるように点 \({\rm Q}\) をとる
\(\triangle {\rm ACQ}\) と \(\triangle {\rm ABP}\) について、
\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形なので、
\({\rm AC}={\rm AB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(\triangle {\rm APQ}\) は正三角形なので、
\({\rm AQ}={\rm AP}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
次に、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形より \(\angle {\rm BAC}=60^\circ\)、\(\triangle {\rm APQ}\) は正三角形より \(\angle {\rm QAP}=60^\circ\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BAP}&=&\angle {\rm BAC}-\angle {\rm CAP}
\\[3pt]~~~&=&60^\circ-\angle {\rm CAP}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm CAQ}&=&\angle {\rm QAP}-\angle {\rm PAC}
\\[3pt]~~~&=&60^\circ-\angle {\rm PAC}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\angle {\rm BAP}=\angle {\rm CAQ}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、\(2\) 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ACQ}\equiv\triangle {\rm ABP}\)
よって、対応する辺は等しいので、
\({\rm CQ}={\rm BP}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
ここで、点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm PC}\) の延長上にあり、\(\triangle {\rm APQ}\) は正三角形なので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm PQ}
\\[3pt]~~~&=&{\rm PC}+{\rm CQ}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm PC}+{\rm CQ}
\\[3pt]~~~&=&{\rm CP}+{\rm BP}
\\[3pt]~~~&=&{\rm BP}+{\rm CP}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AP}={\rm BP}+{\rm CP}\) が成り立つ [終]
