このページは、「円に内接する四角形の角度と証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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円に内接する四角形の角度と証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の図のように、交わる \(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) の交点を \({\rm P}~,~{\rm Q}\) とする。\({\rm P}\) を通る直線が、円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) と交わる点を、それぞれ \({\rm A}~,~{\rm D}\) とし、\({\rm Q}\) を通る直線を右の図のように引くと、円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) と交わる点が、それぞれ \({\rm C}~,~{\rm B}\) となる。このとき、\({\rm AC}\,/\!/\,{\rm DB}\) であることを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.100 練習16
[証明]
円 \({\rm O}\) で四角形 \({\rm ACQP}\) について、\(\angle {\rm Q}\) の外角 \(\angle {\rm PQD}\) はそれと隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm CAP}=\angle {\rm PQD}\)
次に、円 \({\rm O}^{\prime}\) で \(\angle {\rm PQD}\) と \(\angle {\rm PBD}\) は、弧 \({\rm PD}\) に対する円周角なので、
\(\angle {\rm PBD}=\angle {\rm PQD}\)
これより、
\(\angle {\rm CAP}=\angle {\rm PBD}\)
したがって、錯角が等しいので、
\({\rm AC}\,/\!/\,{\rm DB}\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の図のように、点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わる \(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) があり、円 \({\rm O}^{\prime}\) は円 \({\rm O}\) の中心を通る。\({\rm A}\) を通る直線と円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) との交点を、それぞれ \({\rm C}~,~{\rm D}\) とするとき、\(\triangle {\rm DCB}\) は二等辺三角形であることを証明せよ。
数研出版｜新編数学A[104-904] p.113 章末問題B 8
[証明]
\(\angle {\rm ACB}=\alpha\) とすると、円 \({\rm O}\) において、中心角と円周角の関係より、
\(\angle {\rm AOB}=2\alpha\)
次に、点 \({\rm O}\) は円 \({\rm O}^{\prime}\) 上にあり、四角形 \({\rm AOBD}\) は円 \({\rm O}^{\prime}\) に内接するので、
\(1\) 組の対角の和が \(180^\circ\) であることから、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ADB}&=&180^\circ-\angle {\rm AOB}
\\[3pt]~~~&=&180^\circ-2\alpha\end{eqnarray}\)
ここで、\(\triangle {\rm DCB}\) において、内角の和は \(180^\circ\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm CBD}&=&180^\circ-\angle {\rm ACB}-\angle {\rm ADB}
\\[3pt]~~~&=&180^\circ-\alpha-(180^\circ-2\alpha)
\\[3pt]~~~&=&\alpha\end{eqnarray}\)
よって、
\(\angle {\rm DCB}=\angle {\rm DBC}=\alpha\)
したがって、\(2\) つの底角が等しいので、\(\triangle {\rm DCB}\) は二等辺三角形である [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) が \(2\) 点 \({\rm S}~,~{\rm T}\) で交わっている。円 \({\rm O}\) 上に \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm P}\) 、円 \({\rm O}^{\prime}\) 上に \(2\) 点 \({\rm B}~,~{\rm Q}\) があり、\(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm S}~,~{\rm B}\) および \(3\) 点 \({\rm P}~,~{\rm T}~,~{\rm Q}\) がそれぞれこの順で一直線上に並んでいるとする。ただし、点 \({\rm P}\) は点 \({\rm S}\) を含まない弧 \({\rm AT}\) 上にあるとする。
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) と線分 \({\rm PQ}\) が交わらないとき、\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\) を証明せよ。
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AB}\) と線分 \({\rm PQ}\) が交わるとき、\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\) を証明せよ。
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) と線分 \({\rm PQ}\) が交わらないとき、\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\) を証明せよ。
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AB}\) と線分 \({\rm PQ}\) が交わるとき、\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\) を証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.102 問題 10
\({\small (1)}\) [証明]
円 \({\rm O}\) で四角形 \({\rm APTS}\) は円に内接するので、\(1\) つの外角がその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm PAS}=\angle {\rm STQ}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、半直線 \({\rm QB}\) 上に点 \({\rm C}\) をとると、円 \({\rm O}^{\prime}\) で四角形 \({\rm STQB}\) は円に内接するので、\(1\) つの外角がその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm STQ}=\angle {\rm SBC}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm PAS}=\angle {\rm SBC}\)
よって、錯角が等しいので、
\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\)
したがって、\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\) である [終]
\({\small (2)}\) [証明]
円 \({\rm O}\) で四角形 \({\rm APTS}\) は円に内接するので、\(1\) つの外角がその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm PAS}=\angle {\rm STQ}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、円 \({\rm O}^{\prime}\) で弧 \({\rm SQ}\) に対する円周角は等しいので、
\(\angle {\rm STQ}=\angle {\rm SBQ}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm PAS}=\angle {\rm SBQ}\)
よって、錯角が等しいので、
\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\)
したがって、\({\rm AP}\,/\!/\,{\rm BQ}\) である [終]
