このページは、「対角・外角と円に内接する四角形の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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対角・外角と円に内接する四角形の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わる \(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) がある。\({\rm B}\) を通る直線と円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) の交点をそれぞれ \({\rm C}~,~{\rm D}\) とし、更に右の図のように点 \({\rm E}\) をとる。\(\triangle {\rm ECD}\) において、辺 \({\rm EC}\) と円 \({\rm O}\) の交点を \({\rm P}\) 、辺 \({\rm ED}\) と円 \({\rm O}^{\prime}\) の交点を \({\rm Q}\) とする。このとき、四角形 \({\rm EPAQ}\) は円に内接することを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.117 問題 5
[証明]
四角形 \({\rm APBC}\) は円に内接するので、外角はその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm ABC}=\angle {\rm APE}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、四角形 \({\rm AQDB}\) は円に内接するので、外角はその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm ABD}=\angle {\rm AQE}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、点 \({\rm B}\) について、
\(\angle {\rm ABC}+\angle {\rm ABD}=180^\circ\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm APE}+\angle {\rm AQE}=180^\circ\)
したがって、\(1\) 組の対角の和が \(180^\circ\) であることから、四角形 \({\rm EPAQ}\) は円に内接する [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02図のように、\(\triangle {\rm ABC}\) の頂点 \({\rm A}\) から辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を \({\rm AD}\) とし、線分 \({\rm AD}\) 上の点 \({\rm P}\) から辺 \({\rm AC}~,~{\rm AB}\) に下ろした垂線を、それぞれ \({\rm PE}~,~{\rm PF}\) とする。次のことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(\angle {\rm APF}=\angle {\rm AEF}\)
\({\small (2)}~\)\(\angle {\rm APF}=\angle {\rm FBD}\)
\({\small (3)}~\)四角形 \({\rm BCEF}\) は円に内接する。
\({\small (1)}~\)\(\angle {\rm APF}=\angle {\rm AEF}\)
\({\small (2)}~\)\(\angle {\rm APF}=\angle {\rm FBD}\)
\({\small (3)}~\)四角形 \({\rm BCEF}\) は円に内接する。
数研出版｜数学A[104-901] p.128 演習問題A 2
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.124 章末問題B 7
\({\small (1)}~\)[証明] 四角形 \({\rm AFPE}\) において、
\(\angle {\rm AFP}=\angle {\rm AEP}=90^\circ\)
よって、四角形 \({\rm AFPE}\) は線分 \({\rm AP}\) を直径とする円に内接するので、
円周角の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm APF}=\angle {\rm AEF}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm APF}=\angle {\rm AEF}\) となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 四角形 \({\rm FBDP}\) において、
\(\angle {\rm BFP}=\angle {\rm BDP}=90^\circ\)
よって、四角形 \({\rm FBDP}\) は線分 \({\rm BP}\) を直径とする円に内接するので、
円周角の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm APF}=\angle {\rm FBD}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm APF}=\angle {\rm FBD}\) となる [終]
\({\small (3)}~\)[証明]
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm AEF}=\angle {\rm FBD}\end{eqnarray}\)
すなわち、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm AEF}=\angle {\rm FBC}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm AEF}=\angle {\rm FBC}\) より、四角形 \({\rm BCEF}\) は円に内接する [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\({\rm AD}\,/\!/\,{\rm BC}\) である台形 \({\rm ABCD}\) において、\(\angle {\rm ABC}=\angle {\rm BCD}\) であるとき、この台形は円に内接する。このことを証明せよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.95 練習16
[証明]
辺 \({\rm CD}\) を \({\rm D}\) の方向に延長した直線上に点 \({\rm E}\) をとると、
\({\rm AD}\,/\!/\,{\rm BC}\) より、同位角が等しいので、
\(\angle {\rm EDA}=\angle {\rm BCD}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、仮定より、
\(\angle {\rm ABC}=\angle {\rm BCD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm ABC}=\angle {\rm EDA}\)
よって、四角形 \({\rm ABCD}\) は、外角 \(\angle {\rm EDA}\) が、その隣り合う内角の対角 \(\angle {\rm ABC}\) に等しい
したがって、四角形 \({\rm ABCD}\) は円に内接する [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\({\rm AD}\,/\!/\,{\rm BC}\) である台形 \({\rm ABCD}\) において、頂点 \({\rm A}~,~{\rm D}\) を通る円が \(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) と、右の図のように点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) で交わるとき、四角形 \({\rm PBCQ}\) は円に内接する。このことを証明せよ。
数研出版｜新編数学A[104-904] p.113 章末問題B 7
[証明]
辺 \({\rm AD}\) を \({\rm D}\) の方向に延長した直線上に点 \({\rm E}\) をとる
四角形 \({\rm APQD}\) は円に内接するので、外角はその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm EDQ}=\angle {\rm APQ}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、\({\rm AD}\,/\!/\,{\rm BC}\) より、錯角が等しいので、
\(\angle {\rm EDQ}=\angle {\rm QCB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm APQ}=\angle {\rm QCB}\)
また、点 \({\rm P}\) について、
\(\angle {\rm BPQ}+\angle {\rm APQ}=180^\circ\)
よって、
\(\angle {\rm BPQ}+\angle {\rm QCB}=180^\circ\)
したがって、\(1\) 組の対角の和が \(180^\circ\) であることから、四角形 \({\rm PBCQ}\) は円に内接する [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) 上にそれぞれ点 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) をとり、\({\rm PQ}\perp{\rm CA}~,~{\rm PR}\perp{\rm AB}\) とする。このとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)\(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm R}~,~{\rm P}~,~{\rm Q}\) は同一円周上にあることを証明せよ。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) が \({\rm AP}\perp{\rm BC}\) を満たすとき、\(4\) 点 \({\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) は同一円周上にあることを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm R}~,~{\rm P}~,~{\rm Q}\) は同一円周上にあることを証明せよ。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) が \({\rm AP}\perp{\rm BC}\) を満たすとき、\(4\) 点 \({\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) は同一円周上にあることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.87 問5
\({\small (1)}\) [証明]
\({\rm PR}\perp{\rm AB}\) より、
\(\angle {\rm ARP}=90^\circ\)
また、\({\rm PQ}\perp{\rm CA}\) より、
\(\angle {\rm AQP}=90^\circ\)
よって、四角形 \({\rm ARPQ}\) において、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ARP}+\angle {\rm AQP}&=&90^\circ+90^\circ
\\[3pt]~~~&=&180^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、四角形の対角の和が \(180^\circ\) であることから、\(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm R}~,~{\rm P}~,~{\rm Q}\) は同一円周上にある [終]
\({\small (2)}\) [証明]
\(\triangle {\rm ABP}\) と \(\triangle {\rm APR}\) において、
\({\rm AP}\perp{\rm BC}~,~{\rm PR}\perp{\rm AB}\) より、
\(\angle {\rm APB}=\angle {\rm ARP}=90^\circ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(\angle {\rm A}\) は共通なので、
\(\angle {\rm BAP}=\angle {\rm PAR}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABP}\) ∽ \(\triangle {\rm APR}\)
よって、対応する角は等しいので、
\(\angle {\rm ABP}=\angle {\rm APR}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
ここで、(1) より \(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm R}~,~{\rm P}~,~{\rm Q}\) は同一円周上にあり、\(\angle {\rm APR}\) と \(\angle {\rm AQR}\) は弧 \({\rm AR}\) に対する円周角なので、
\(\angle {\rm APR}=\angle {\rm AQR}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\angle {\rm ABP}=\angle {\rm AQR}\)
すなわち、
\(\angle {\rm RBP}=\angle {\rm AQR}\)
したがって、四角形 \({\rm BCQR}\) の \(1\) つの外角 \(\angle {\rm AQR}\) がその隣り合う内角の対角 \(\angle {\rm RBC}\) と等しいので、\(4\) 点 \({\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) は同一円周上にある [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) 上にそれぞれ点 \({\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}\) がある。\(3\) 点 \({\rm B}~,~{\rm D}~,~{\rm F}\) および \({\rm C}~,~{\rm D}~,~{\rm E}\) を通る \(2\) つの円が、右の図のように、\(\triangle {\rm ABC}\) の内部の点 \({\rm P}\) で交わっているとき、\(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm E}~,~{\rm F}~,~{\rm P}\) は同一円周上にあることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.102 問題 8
[証明]
四角形 \({\rm FBDP}\) は円に内接するので、\(1\) つの外角がその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm AFP}=\angle {\rm PDB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、四角形 \({\rm PDCE}\) は円に内接するので、\(1\) つの外角がその隣り合う内角の対角に等しいので、
\(\angle {\rm AEP}=\angle {\rm PDC}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) 上にあるので、
\(\angle {\rm PDB}+\angle {\rm PDC}=180^\circ\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm AFP}+\angle {\rm AEP}=180^\circ\)
したがって、四角形 \({\rm AFPE}\) において \(1\) 組の対角の和が \(180^\circ\) であることから、\(4\) 点 \({\rm A}~,~{\rm E}~,~{\rm F}~,~{\rm P}\) は同一円周上にある [終]
