このページは、「円と接線を用いた証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
円と接線を用いた証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01点 \({\rm P}\) で外接する \(2\) つの円がある。\({\rm P}\) を通る \(2\) 本の直線が、図のように、\(2\) つの円と、それぞれ \({\rm A}~,~{\rm B}\) および \({\rm C}~,~{\rm D}\) で交わるとき、\({\rm AC}\,/\!/\,{\rm DB}\) であることを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.117 問題 6
[証明]
点 \({\rm P}\) における共通接線 \({\rm EF}\) を引くと、
接線と弦の作る角が等しいので、
\(\angle {\rm EPA}=\angle {\rm ACP}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、接線と弦の作る角が等しいので、
\(\angle {\rm FPB}=\angle {\rm BDP}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、点 \({\rm P}\) について、
\(\angle {\rm EPA}=\angle {\rm FPB}\)（対頂角）
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm ACP}=\angle {\rm BDP}\)
したがって、錯角が等しいことから、\({\rm AC}\,/\!/\,{\rm DB}\) となる [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) の内接円と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) の接点を、それぞれ \({\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}\) とするとき、次のことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(2\angle {\rm FDE}=\angle {\rm ABC}+\angle {\rm ACB}\)
\({\small (2)}~\)\(2{\rm AF}={\rm AB}+{\rm AC}-{\rm BC}\)
\({\small (1)}~\)\(2\angle {\rm FDE}=\angle {\rm ABC}+\angle {\rm ACB}\)
\({\small (2)}~\)\(2{\rm AF}={\rm AB}+{\rm AC}-{\rm BC}\)
数研出版｜数学A[104-901] p.128 演習問題A 3
\({\small (1)}~\)[証明]
\(1\) つの頂点からの \(2\) つの接線の長さは等しいので、\(\triangle {\rm BDF}~,~\triangle {\rm CED}\) はともに二等辺三角形となる
よって、底角が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BDF}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(180°-\angle {\rm ABC})\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm CDE}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(180°-\angle {\rm ACB})\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm FDE}&=&180°-(\angle {\rm BDF}+\angle {\rm CDE})
\\[5pt]~~~&=&180°-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(180°-\angle {\rm ABC})+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(180°-\angle {\rm ACB})\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\angle {\rm ABC}+\angle {\rm ACB})\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&180°-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(180°-\angle {\rm ABC})+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(180°-\angle {\rm ACB})\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\angle {\rm ABC}+\angle {\rm ACB})\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(2\angle {\rm FDE}=\angle {\rm ABC}+\angle {\rm ACB}\) となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(1\) つの頂点からの \(2\) つの接線の長さは等しいので、
\({\rm AE}={\rm AF}~,~{\rm BF}={\rm BD}~,~{\rm CD}={\rm CE}\)
これより、
\({\rm AB}={\rm AF}+{\rm BF}={\rm AF}+{\rm BD}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\rm AC}={\rm AF}+{\rm CD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm BC}={\rm BD}+{\rm CD}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{\rm AB}+{\rm AC}-{\rm BC}
\\[3pt]~~~&=&({\rm AF}+{\rm BD})+({\rm AF}+{\rm CD})-({\rm BD}+{\rm CD})
\\[3pt]~~~&=&2{\rm AF}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&({\rm AF}+{\rm BD})+({\rm AF}+{\rm CD})-({\rm BD}+{\rm CD})
\\[3pt]~~~&=&2{\rm AF}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(2{\rm AF}={\rm AB}+{\rm AC}-{\rm BC}\) となる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03図において、\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) は点 \({\rm A}\) で外接している。また、直線 \({\rm BC}\) は円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) に、それぞれ点 \({\rm B}~,~{\rm C}\) で接している。このとき、\(\angle {\rm BAC}=90°\) であることを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.129 演習問題B 6
[証明]
点 \({\rm A}\) における共通接線を引き、直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とすると、
\(1\) つの点からの \(2\) つの接線の長さは等しいので、
\({\rm DA}={\rm DB}~,~{\rm DA}={\rm DC}\)
よって、\({\rm DA}={\rm DB}={\rm DC}\) となり、点 \({\rm D}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の外心となるので、
点 \({\rm A}\) は線分 \({\rm BC}\) を直径とする円周上にある
したがって、半円の弧に対する円周角より、\(\angle {\rm BAC}=90°\) となる [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(2\) つの円が \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わっている。右の図のように、\({\rm B}\) を通る直線が \(2\) つの円と交わる点をそれぞれ \({\rm C}~,~{\rm D}\) とし、\({\rm C}~,~{\rm D}\) においてそれぞれの円の接線を引いて、その交点を \({\rm P}\) とする。このとき、四角形 \({\rm ACPD}\) は円に内接することを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.115 練習問題B 7
[証明]
\(2\) つの円に共通な弦 \({\rm AB}\) を引くと、
接線 \({\rm PC}\) と弦 \({\rm CB}\) の作る角は、その弧に対する円周角に等しいので、
\(\angle {\rm PCB}=\angle {\rm CAB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
同様に、接線 \({\rm PD}\) と弦 \({\rm DB}\) の作る角は、その弧に対する円周角に等しいので、
\(\angle {\rm PDB}=\angle {\rm DAB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm CAD}&=&\angle {\rm CAB}+\angle {\rm DAB}
\\[3pt]~~~&=&\angle {\rm PCB}+\angle {\rm PDB}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\triangle {\rm PCD}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm CPD}&=&180^\circ-(\angle {\rm PCD}+\angle {\rm PDC})
\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(\angle {\rm PCB}+\angle {\rm PDB})\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\angle {\rm CAD}+\angle {\rm CPD}
\\[3pt]~~~&=&(\angle {\rm PCB}+\angle {\rm PDB})+180^\circ-(\angle {\rm PCB}+\angle {\rm PDB})
\\[3pt]~~~&=&180^\circ\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\angle {\rm PCB}+\angle {\rm PDB})+180^\circ-(\angle {\rm PCB}+\angle {\rm PDB})
\\[3pt]~~~&=&180^\circ\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(1\) 組の対角の和が \(180^\circ\) であることから、四角形 \({\rm ACPD}\) は円に内接する [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の図で、直線 \({\rm AD}\) は円 \({\rm O}\) の接線、\({\rm A}\) は接点である。\({\rm AC}={\rm AD}\) であるとき、\({\rm BA}={\rm BD}\) であることを証明せよ。
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.91 問9
[証明]
\({\rm AC}={\rm AD}\) より、\(\triangle {\rm ACD}\) は二等辺三角形となるので、
\(\angle {\rm ACD}=\angle {\rm ADC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、直線 \({\rm AD}\) は円 \({\rm O}\) の接線で、接線 \({\rm AD}\) と弦 \({\rm AB}\) の作る角は、その弧に対する円周角に等しいので、
\(\angle {\rm DAB}=\angle {\rm ACB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(\angle {\rm ACB}=\angle {\rm ACD}\) なので、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm DAB}=\angle {\rm ADC}\)
よって、\(\triangle {\rm ABD}\) において \(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm BDA}\) となるので、
\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形となる
したがって、\({\rm BA}={\rm BD}\) となる [終]
