このページは、「方べきの定理を用いた証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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方べきの定理を用いた証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01円の中心 \({\rm O}\) から、直径でない弦 \({\rm AB}\) に垂線 \({\rm OP}\) を下ろす。\({\rm P}\) を通る他の弦を \({\rm CD}\) とすると、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\({\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PA}^2\)
\({\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PA}^2\)
数研出版｜数学A[104-901] p.105 練習23
[証明]
円 \({\rm O}\) について、方べきの定理より、
\({\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PA} \cdot {\rm PB}\)
次に、中心 \({\rm O}\) から弦 \({\rm AB}\) に下ろした垂線は弦を \(2\) 等分するので、
\({\rm PA}={\rm PB}\)
よって、
\({\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PA} \cdot {\rm PA}={\rm PA}^2\)
したがって、\({\rm PC} \cdot {\rm PD}={\rm PA}^2\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) の内心を \({\rm I}\) とし、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) 、\(\triangle {\rm ABC}\) の外接円との交点を \({\rm E}\) とする。このとき、次のことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AD}^2={\rm AB} \cdot {\rm AC}-{\rm BD} \cdot {\rm CD}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm EB}={\rm EC}={\rm EI}\)
\({\small (1)}~\)\({\rm AD}^2={\rm AB} \cdot {\rm AC}-{\rm BD} \cdot {\rm CD}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm EB}={\rm EC}={\rm EI}\)
数研出版｜数学A[104-901] p.129 演習問題B 7
\({\small (1)}~\)[証明]
\(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、仮定より、
\(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm DAC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
円周角の定理より、
\(\angle {\rm AEB}=\angle {\rm ACD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABE}\) ∽ \(\triangle {\rm ADC}\)
よって、\({\rm AB}:{\rm AD}={\rm AE}:{\rm AC}\) より、
\({\rm AB} \cdot {\rm AC}={\rm AD} \cdot {\rm AE}\)
ここで、\({\rm AE}={\rm AD}+{\rm DE}\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB} \cdot {\rm AC}&=&{\rm AD}({\rm AD}+{\rm DE})
\\[3pt]~~~&=&{\rm AD} \cdot {\rm AD}+{\rm AD} \cdot {\rm DE}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
また、方べきの定理より、
\({\rm AD} \cdot {\rm DE}={\rm BD} \cdot {\rm CD}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\({\rm AB} \cdot {\rm AC}={\rm AD} \cdot {\rm AD}+{\rm BD} \cdot {\rm CD}\)
したがって、\({\rm AD}^2={\rm AB} \cdot {\rm AC}-{\rm BD} \cdot {\rm CD}\) となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\({\rm I}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内心なので、\({\rm AE}\) は \(\angle {\rm BAC}\) の二等分線となるので、
\(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm CAE}\)
よって、等しい円周角に対する弧は等しいので、
\(\stackrel{\frown}{\rm EB}=\stackrel{\frown}{\rm EC}\)
これより、
\({\rm EB}={\rm EC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、\(\angle {\rm IBE}\) は、
\(\angle {\rm IBE}=\angle {\rm EBC}+\angle {\rm CBI}\)
\(\triangle {\rm ABI}\) の外角より、\(\angle {\rm BIE}\) は、
\(\angle {\rm BIE}=\angle {\rm BAE}+\angle {\rm IBA}\)
ここで、\({\rm I}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内心なので、
\(\angle {\rm CBI}=\angle {\rm IBA}\)
また、\(\stackrel{\frown}{\rm EC}\) に対する円周角より、
\(\angle {\rm EBC}=\angle {\rm EAC}=\angle {\rm BAE}\)
よって、\(\angle {\rm IBE}=\angle {\rm BIE}\) より、\(\triangle {\rm EBI}\) は二等辺三角形となるので、
\({\rm EB}={\rm EI}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm EB}={\rm EC}={\rm EI}\) となる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03円 \({\rm O}\) の半径を \(r\) とするとき、次の図において、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}=r^2-{\rm PO}^2\) である。このことを示せ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.100 練習21
[証明]
直径 \({\rm CD}\) と弦 \({\rm AB}\) について、方べきの定理より、
\({\rm PA} \cdot {\rm PB}={\rm PC} \cdot {\rm PD}\)
ここで、\({\rm CD}\) は円 \({\rm O}\) の直径なので、半径 \(r\) を用いて、
\({\rm PC}=r+{\rm PO}~,~{\rm PD}=r-{\rm PO}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA} \cdot {\rm PB}&=&{\rm PC} \cdot {\rm PD}
\\[3pt]~~~&=&(r+{\rm PO})(r-{\rm PO})
\\[3pt]~~~&=&r^2-{\rm PO}^2\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm PA} \cdot {\rm PB}=r^2-{\rm PO}^2\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わる \(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) がある。次の図のように、直線 \(\ell\) が円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) にそれぞれ点 \({\rm C}~,~{\rm D}\) で接している。また、\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を通る直線 \(m\) が、\(\ell\) と点 \({\rm E}\) で交わり、\(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm D}~,~{\rm C}\) を通る円と点 \({\rm F}\) で交わる。このとき、四角形 \({\rm BDFC}\) が平行四辺形であることを証明せよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.123 章末問題A 4
[証明]円 \({\rm O}\) について、接線 \({\rm EC}\) と割線 \({\rm EA}\) による方べきの定理より、
\({\rm EB} \cdot {\rm EA}={\rm EC}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
同様に、円 \({\rm O}^{\prime}\) について、接線 \({\rm ED}\) と割線 \({\rm EA}\) による方べきの定理より、
\({\rm EB} \cdot {\rm EA}={\rm ED}^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm EC}={\rm ED}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
また、\(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm D}~,~{\rm C}\) を通る円について、\(2\) 本の弦 \({\rm AF}\) と \({\rm CD}\) による方べきの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm EF} \cdot {\rm EA}&=&{\rm EC} \cdot {\rm ED}
\\[3pt]~~~&=&{\rm EC}^2
\\[3pt]~~~&=&{\rm EB} \cdot {\rm EA}\end{eqnarray}\)
よって、
\({\rm EF}={\rm EB}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、四角形 \({\rm BDFC}\) は、対角線 \({\rm CD}\) と \({\rm BF}\) がそれぞれの中点 \({\rm E}\) で交わる
したがって、対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形 \({\rm BDFC}\) は平行四辺形である [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) 、\(\triangle {\rm ABC}\) の外接円との交点を \({\rm E}\) とする。このとき、次が成り立つことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABE}\) ∽ \(\triangle {\rm ADC}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AD}^2={\rm AB} \cdot {\rm AC}-{\rm BD} \cdot {\rm CD}\)
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABE}\) ∽ \(\triangle {\rm ADC}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AD}^2={\rm AB} \cdot {\rm AC}-{\rm BD} \cdot {\rm CD}\)
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.124 章末問題B 8
[証明]
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、\({\rm AD}\) は \(\angle {\rm A}\) の二等分線なので、
\(\angle {\rm BAE}=\angle {\rm DAC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\stackrel{\frown}{\rm AB}\) に対する円周角より、
\(\angle {\rm AEB}=\angle {\rm ACD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しい
したがって、\(\triangle {\rm ABE}\) ∽ \(\triangle {\rm ADC}\) となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \({\small (1)}\) より \(\triangle {\rm ABE}\) ∽ \(\triangle {\rm ADC}\) なので、
\({\rm AB}:{\rm AD}={\rm AE}:{\rm AC}\)
よって、
\({\rm AB} \cdot {\rm AC}={\rm AD} \cdot {\rm AE}\)
ここで、\({\rm AE}={\rm AD}+{\rm DE}\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB} \cdot {\rm AC}&=&{\rm AD}({\rm AD}+{\rm DE})
\\[3pt]~~~&=&{\rm AD} \cdot {\rm AD}+{\rm AD} \cdot {\rm DE}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、方べきの定理より、
\({\rm AD} \cdot {\rm DE}={\rm BD} \cdot {\rm CD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm AB} \cdot {\rm AC}={\rm AD} \cdot {\rm AD}+{\rm BD} \cdot {\rm CD}\)
したがって、\({\rm AD}^2={\rm AB} \cdot {\rm AC}-{\rm BD} \cdot {\rm CD}\) となる [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(2\) つの円 \({\rm O}~,~{\rm O}^{\prime}\) が \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で交わっている。それぞれの半径を \(r~,~r^{\prime}\) とし、\({\rm AB}\) の延長上に点 \({\rm P}\) をとるとき、\({\rm PO}^2-r^2={\rm PO}^{\prime 2}-r^{\prime 2}\) が成り立つことを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.115 練習問題B 11
[証明]
直線 \({\rm PO}\) と円 \({\rm O}\) の交点を、\({\rm P}\) に近い方からそれぞれ \({\rm Q}~,~{\rm R}\) とすると、
\({\rm PQ}={\rm PO}-r~,~{\rm PR}={\rm PO}+r\)
円 \({\rm O}\) について、方べきの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA} \cdot {\rm PB}&=&{\rm PQ} \cdot {\rm PR}
\\[3pt]~~~&=&({\rm PO}-r)({\rm PO}+r)
\\[3pt]~~~&=&{\rm PO}^2-r^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
同様に、直線 \({\rm PO}^{\prime}\) と円 \({\rm O}^{\prime}\) の交点を、\({\rm P}\) に近い方からそれぞれ \({\rm Q}^{\prime}~,~{\rm R}^{\prime}\) とすると、
\({\rm PQ}^{\prime}={\rm PO}^{\prime}-r^{\prime}~,~{\rm PR}^{\prime}={\rm PO}^{\prime}+r^{\prime}\)
円 \({\rm O}^{\prime}\) について、方べきの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA} \cdot {\rm PB}&=&{\rm PQ}^{\prime} \cdot {\rm PR}^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&({\rm PO}^{\prime}-r^{\prime})({\rm PO}^{\prime}+r^{\prime})
\\[3pt]~~~&=&{\rm PO}^{\prime 2}-r^{\prime 2}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm PO}^2-r^2={\rm PO}^{\prime 2}-r^{\prime 2}\)
したがって、\({\rm PO}^2-r^2={\rm PO}^{\prime 2}-r^{\prime 2}\) が成り立つ [終]
