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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の図のように、円 \({\rm O}\) の外部の点 \({\rm P}\) からこの円に接線 \({\rm PA}~,~{\rm PB}\) を引き、線分 \({\rm AB}\) と \({\rm PO}\) の交点を \({\rm C}\) とする。また、\({\rm PO}\) と \({\rm C}\) で交わる弦 \({\rm DE}\) を引く。このとき、\(4\) 点 \({\rm P}~,~{\rm O}~,~{\rm D}~,~{\rm E}\) は \(1\) つの円周上にあることを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.107 練習26
[証明]
\({\rm PA}~,~{\rm PB}\) は円 \({\rm O}\) の接線であり、接点を通る半径は接線に垂直であるので、
\(\angle {\rm PAO}+\angle {\rm PBO}=90°+90°=180°\)
向かい合う角の和が \(180°\) であるから、\(4\) 点 \({\rm P}~,~{\rm B}~,~{\rm O}~,~{\rm A}\) は \(1\) つの円周上にあるので、
この円について、\(2\) 本の弦 \({\rm PO}\) と \({\rm AB}\) は点 \({\rm C}\) で交わり、方べきの定理より、
\({\rm CP} \cdot {\rm CO}={\rm CA} \cdot {\rm CB}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、円 \({\rm O}\) について、\(2\) 本の弦 \({\rm AB}\) と \({\rm DE}\) は点 \({\rm C}\) で交わり、方べきの定理より、
\({\rm CD} \cdot {\rm CE}={\rm CA} \cdot {\rm CB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm CP} \cdot {\rm CO}={\rm CD} \cdot {\rm CE}\)
したがって、方べきの定理の逆より、\(4\) 点 \({\rm P}~,~{\rm O}~,~{\rm D}~,~{\rm E}\) は \(1\) つの円周上にある [終]
