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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm AC}\) 上に、\(\angle {\rm CDE}=\angle {\rm BDA}\) となるように点 \({\rm E}\) をとる。
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm DBC}\backsim\triangle {\rm DAE}\) を証明せよ。
\({\small (2)}~\)\({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm AD} \cdot {\rm BC}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\)（トレミーの定理）を証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm DBC}\backsim\triangle {\rm DAE}\) を証明せよ。
\({\small (2)}~\)\({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm AD} \cdot {\rm BC}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\)（トレミーの定理）を証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.115 練習問題B 9
\({\small (1)}\) [証明]
\(\triangle {\rm DBC}\) と \(\triangle {\rm DAE}\) について、
仮定より \(\angle {\rm CDE}=\angle {\rm BDA}\) であり、両辺に \(\angle {\rm BDE}\) を加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm CDE}+\angle {\rm BDE}&=&\angle {\rm BDA}+\angle {\rm BDE}
\\[3pt]~~~\angle {\rm BDC}&=&\angle {\rm ADE}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、弧 \({\rm DC}\) に対する円周角は等しいので、
\(\angle {\rm DBC}=\angle {\rm DAE}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm DBC}\backsim\triangle {\rm DAE}\)
したがって、\(\triangle {\rm DBC}\backsim\triangle {\rm DAE}\) である [終]
\({\small (2)}\) [証明]
\(\triangle {\rm DAB}\) と \(\triangle {\rm DEC}\) について、
仮定より \(\angle {\rm BDA}=\angle {\rm CDE}\) であり、
\(\angle {\rm ADB}=\angle {\rm EDC}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
また、弧 \({\rm AD}\) に対する円周角は等しいので、
\(\angle {\rm ABD}=\angle {\rm ECD}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm DAB}\backsim\triangle {\rm DEC}\)
\({\small (1)}\) の \(\triangle {\rm DBC}\backsim\triangle {\rm DAE}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm DB}:{\rm BC}&=&{\rm DA}:{\rm AE}
\\[3pt]~~~{\rm AD} \cdot {\rm BC}&=&{\rm AE} \cdot {\rm BD}~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm DAB}\backsim\triangle {\rm DEC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}:{\rm DB}&=&{\rm EC}:{\rm DC}
\\[3pt]~~~{\rm AB} \cdot {\rm CD}&=&{\rm EC} \cdot {\rm BD}~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}+{\small [\,6\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm AD} \cdot {\rm BC}&=&{\rm EC} \cdot {\rm BD}+{\rm AE} \cdot {\rm BD}
\\[3pt]~~~&=&{\rm BD}({\rm AE}+{\rm EC})
\\[3pt]~~~&=&{\rm BD} \cdot {\rm AC}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB} \cdot {\rm CD}+{\rm AD} \cdot {\rm BC}={\rm AC} \cdot {\rm BD}\) となる [終]
