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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の図において、\(2\) つの円が点 \({\rm P}\) で内接しているときにも、\({\rm AC}\,/\!/\,{\rm BD}\) となることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.95 問17
[証明]
点 \({\rm P}\) における共通接線 \({\rm PT}\) を引くと、大きい円について、接線 \({\rm PT}\) と弦 \({\rm PC}\) の作る角は、その弧に対する円周角に等しいので、
\(\angle {\rm CPT}=\angle {\rm PAC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、小さい円について、接線 \({\rm PT}\) と弦 \({\rm PD}\) の作る角は、その弧に対する円周角に等しいので、
\(\angle {\rm DPT}=\angle {\rm PBD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(3\) 点 \({\rm C}~,~{\rm D}~,~{\rm P}\) は一直線上にあるので、
\(\angle {\rm CPT}=\angle {\rm DPT}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\angle {\rm PAC}=\angle {\rm PBD}\)
したがって、同位角が等しいので、\({\rm AC}\,/\!/\,{\rm BD}\) となる [終]
