このページは、「空間図形の2平面の位置関係」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
空間図形の2平面の位置関係 で確認できます。
問題アーカイブ01
\({\small (1)}~\)\(\alpha\perp\beta~,~\beta\perp\gamma\) ならば、\(\alpha~/\!/~\gamma\) である。
\({\small (2)}~\)\(\alpha\perp\beta~,~\beta~/\!/~\gamma\) ならば、\(\alpha\perp\gamma\) である。
\({\small (3)}~\)\(\ell\perp m~,~\ell~/\!/~\alpha\) ならば、\(m\perp\alpha\) である。
\({\small (4)}~\)\(\ell~/\!/~\alpha~,~\ell~/\!/~\beta\) ならば、\(\alpha~/\!/~\beta\) である。
\({\small (5)}~\)\(\ell\perp\alpha~,~\ell~/\!/~\beta\) ならば、\(\alpha\perp\beta\) である。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.121 練習37
\({\small (1)}~\)\(\beta\) に垂直な \(2\) つの平面 \(\alpha~,~\gamma\) を考えると、
図のように \(\alpha\) と \(\gamma\) が交わってしまい、\(\alpha~/\!/~\gamma\) とならない場合がある
したがって、正しくない
\({\small (2)}~\)\(\alpha\perp\beta\) なので、平面 \(\beta\) 上に \(\alpha\) と垂直な直線 \(\ell\) をとることができる
この \(\ell\) を含み \(\gamma\) と交わる平面をとり、\(\gamma\) との交線を \(m\) とすると、
\(\beta~/\!/~\gamma\) より、\(\ell~/\!/~m\)
ここで、\(\ell\perp\alpha\) かつ \(\ell~/\!/~m\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~m\perp\alpha\end{eqnarray}\)
平面 \(\gamma\) は \(\alpha\) の垂線 \(m\) を含むので、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\perp\gamma\end{eqnarray}\)
したがって、正しい
\({\small (3)}~\)\(\ell~/\!/~\alpha\) のとき、\(\ell\) に垂直な直線は \(m~,~m^{\prime}~,~\cdots\) と無数にとれる
その中には \(\alpha\) に垂直にならない直線も含まれるので、\(m\perp\alpha\) が成り立たない場合がある
したがって、正しくない
\({\small (4)}~\)\(1\) 本の直線 \(\ell\) に平行な平面 \(\alpha~,~\beta\) は、
互いに交わるものも含めて無数に存在するので、\(\alpha~/\!/~\beta\) とは限らない
したがって、正しくない
\({\small (5)}~\)\(\ell\) を含み \(\beta\) と交わる平面をとり、\(\beta\) との交線を \(m\) とすると、
\(\ell~/\!/~\beta\) より、\(\ell~/\!/~m\)
ここで、\(\ell\perp\alpha\) なので \(m\perp\alpha\) となり、平面 \(\beta\) は \(\alpha\) の垂線 \(m\) を含む
よって、\(\beta\) は \(\alpha\) に垂直、すなわち \(\alpha\perp\beta\) となる
したがって、正しい
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\)\(\ell~/\!/~m\) で、\(m\) と \(n\) が交わるならば、\(\ell\) と \(n\) は交わる。
\({\small (2)}~\)\(\ell\perp\alpha~,~\ell~/\!/~m\) ならば、\(m\perp\alpha\) である。
\({\small (3)}~\)\(\ell~,~m\) が \(\alpha\) に含まれ、\(\ell\perp n~,~m\perp n\) ならば、\(n\perp\alpha\) である。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.127 問題 9
\({\small (1)}~\)\(m\) と \(n\) が同じ平面上で交わり、\(\ell\) がその平面上になく \(\ell~/\!/~m\) のとき、
\(\ell\) と \(n\) は交わらず、ねじれの位置になる場合がある
したがって、正しくない
\({\small (2)}~\)\(\ell~/\!/~m\) なので、\(\ell\) と \(m\) を含む平面 \(\beta\) をとることができる
このとき、\(\beta\) は \(\alpha\) と垂直な直線 \(\ell\) を含むので、
\(\begin{eqnarray}~~~\beta\perp\alpha\end{eqnarray}\)
よって、\(\ell~/\!/~m\) より、\(m\) も \(\alpha\) と垂直になる
したがって、正しい
\({\small (3)}~\)\(\alpha\) に含まれる \(\ell\) と \(m\) が交わるとき、\(\ell\perp n~,~m\perp n\) ならば、\(n\) は \(\alpha\) 上の交わる \(2\) 直線に垂直なので \(n\perp\alpha\) となる
しかし、\(\ell~/\!/~m\) のときは、\(\ell\perp n~,~m\perp n\) であっても \(n\perp\alpha\) とならない場合がある
したがって、正しくない
問題アーカイブ03
\({\small (1)}~\)\(\ell~/\!/~m\) で、\(m\) と \(n\) が交わるならば、\(\ell\) と \(n\) は交わる。
\({\small (2)}~\)\(\ell\perp\alpha~,~m\perp\alpha\) ならば、\(\ell~/\!/~m\) である。
\({\small (3)}~\)\(\ell\) が \(\alpha\) 上にあるとき、\(\ell\perp\beta\) ならば、\(\alpha\perp\beta\) である。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.122 問題 6
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.111 補充問題 4
\({\small (1)}~\)\(m\) と \(n\) が同じ平面上で交わり、\(\ell\) がその平面上になく \(\ell~/\!/~m\) のとき、
\(\ell\) と \(n\) は交わらず、ねじれの位置になる場合がある
したがって、正しくない
\({\small (2)}~\)\(\ell\perp\alpha~,~m\perp\alpha\) のとき、
\(1\) つの平面に垂直な \(2\) つの直線は、互いに平行になる
したがって、正しい
\({\small (3)}~\)\(\ell\) が \(\alpha\) 上にあり \(\ell\perp\beta\) のとき、
平面 \(\alpha\) は \(\beta\) に垂直な直線 \(\ell\) を含むので、\(\alpha\perp\beta\) となる
したがって、正しい
問題アーカイブ04
\({\small (1)}~\)\(\alpha\perp\beta~,~\beta\perp\gamma\) ならば、\(\alpha~/\!/~\gamma\) である。
\({\small (2)}~\)\(\alpha\perp\beta~,~\beta~/\!/~\gamma\) ならば、\(\alpha\perp\gamma\) である。
\({\small (3)}~\)\(\ell~/\!/~\alpha~,~\ell~/\!/~\beta\) ならば、\(\alpha~/\!/~\beta\) である。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.115 練習34
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.105 練習34
\({\small (1)}~\)\(\beta\) に垂直な \(2\) つの平面 \(\alpha~,~\gamma\) を考えると、
図のように \(\alpha\) と \(\gamma\) が交わってしまい、\(\alpha~/\!/~\gamma\) とならない場合がある
したがって、正しくない
\({\small (2)}~\)\(\alpha\perp\beta\) なので、平面 \(\beta\) 上に \(\alpha\) と垂直な直線 \(\ell\) をとることができる
この \(\ell\) を含み \(\gamma\) と交わる平面をとり、\(\gamma\) との交線を \(m\) とすると、
\(\beta~/\!/~\gamma\) より、\(\ell~/\!/~m\)
ここで、\(\ell\perp\alpha\) かつ \(\ell~/\!/~m\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~m\perp\alpha\end{eqnarray}\)
平面 \(\gamma\) は \(\alpha\) の垂線 \(m\) を含むので、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\perp\gamma\end{eqnarray}\)
したがって、正しい
\({\small (3)}~\)\(1\) 本の直線 \(\ell\) に平行な平面 \(\alpha~,~\beta\) は、
互いに交わるものも含めて無数に存在するので、\(\alpha~/\!/~\beta\) とは限らない
したがって、正しくない
問題アーカイブ05
\({\small (1)}~\)\(\ell\perp m~,~\ell\perp n\) ならば \(m\,/\!/\,n\)
\({\small (2)}~\)\(\alpha\perp\beta~,~\alpha\perp\gamma\) ならば \(\beta\,/\!/\,\gamma\)
\({\small (3)}~\)\(\ell\perp m~,~m\,/\!/\,n\) ならば \(\ell\perp n\)
\({\small (4)}~\)\(\alpha\perp\beta~,~\beta\,/\!/\,\gamma\) ならば \(\alpha\perp\gamma\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.112 問題 12
\({\small (1)}~\)\(\ell\perp m~,~\ell\perp n\) のとき、
同じ平面上で \(1\) つの直線 \(\ell\) に垂直な \(2\) 直線 \(m~,~n\) は、互いに平行になる
したがって、正しい
\({\small (2)}~\)\(\alpha\) に垂直な \(2\) つの平面 \(\beta~,~\gamma\) を考えると、
図のように \(\beta\) と \(\gamma\) が交わってしまい、\(\beta\,/\!/\,\gamma\) とならない場合がある
したがって、正しくない
\({\small (3)}~\)\(\ell\perp m~,~m\,/\!/\,n\) のとき、
同じ平面上で \(\ell\perp m\) かつ \(m\,/\!/\,n\) ならば、\(\ell\) は \(n\) とも垂直になる
したがって、正しい
\({\small (4)}~\)\(\alpha\perp\beta\) なので、平面 \(\beta\) 上に \(\alpha\) と垂直な直線 \(\ell\) をとることができる
この \(\ell\) を含み \(\gamma\) と交わる平面をとり、\(\gamma\) との交線を \(m\) とすると、
\(\beta\,/\!/\,\gamma\) より、\(\ell\,/\!/\,m\)
ここで、\(\ell\perp\alpha\) かつ \(\ell\,/\!/\,m\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~m\perp\alpha\end{eqnarray}\)
平面 \(\gamma\) は \(\alpha\) の垂線 \(m\) を含むので、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\perp\gamma\end{eqnarray}\)
したがって、正しい
