このページは、「平面と直線の垂直と三垂線の定理」の練習問題アーカイブページとなります。
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平面と直線の垂直と三垂線の定理 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01図において、\(3\) つの線分 \({\rm OA}~,~{\rm OB}~,~{\rm OC}\) は、それぞれが直角に交わっている。\({\rm O}\) から平面 \({\rm ABC}\) に下ろした垂線を \({\rm OH}\) とするとき、次のことを示せ。
\({\small (1)}~\)\({\rm OA}\perp{\rm BC}~,~{\rm OH}\perp{\rm BC}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AH}\perp{\rm BC}\)
\({\small (1)}~\)\({\rm OA}\perp{\rm BC}~,~{\rm OH}\perp{\rm BC}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AH}\perp{\rm BC}\)
数研出版｜数学A[104-901] p.127 問題 10
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.122 問題 7
\({\small (1)}~\)[証明] 仮定より \({\rm OA}\perp{\rm OB}~,~{\rm OA}\perp{\rm OC}\) なので、\({\rm OA}\) は交わる \(2\) 直線 \({\rm OB}~,~{\rm OC}\) を含む平面 \({\rm OBC}\) に垂直となるので、
\({\rm OA}\) は平面 \({\rm OBC}\) 上の \({\rm BC}\) に垂直となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}\perp{\rm BC}\end{eqnarray}\)
また、仮定より \({\rm OH}\) は平面 \({\rm ABC}\) に垂直なので、平面 \({\rm ABC}\) 上の \({\rm BC}\) に垂直となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OH}\perp{\rm BC}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm OA}\perp{\rm BC}~,~{\rm OH}\perp{\rm BC}\) となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \({\small (1)}\) より \({\rm OA}\perp{\rm BC}~,~{\rm OH}\perp{\rm BC}\) なので、\({\rm BC}\) は交わる \(2\) 直線 \({\rm OA}~,~{\rm OH}\) を含む平面 \({\rm OAH}\) に垂直となるので、
\({\rm BC}\) は平面 \({\rm OAH}\) 上の \({\rm AH}\) に垂直となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}\perp{\rm BC}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AH}\perp{\rm BC}\) となる [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02平面 \(\alpha\) 上に直線 \(\ell\) がある。\(\alpha\) 上にない点 \({\rm A}\) 、\(\ell\) 上の点 \({\rm B}\) 、\(\ell\) 上にない \(\alpha\) 上の点 \({\rm O}\) について、次のことを証明せよ。
\({\rm AB}\perp\ell~,~{\rm OB}\perp\ell~,~{\rm OA}\perp{\rm OB}\) ならば \({\rm OA}\perp\alpha\)
\({\rm AB}\perp\ell~,~{\rm OB}\perp\ell~,~{\rm OA}\perp{\rm OB}\) ならば \({\rm OA}\perp\alpha\)
数研出版｜数学A[104-901] p.127 問題 12
[証明]
\({\rm AB}\perp\ell~,~{\rm OB}\perp\ell\) なので、\(\ell\) は交わる \(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm OB}\) を含む平面 \({\rm OAB}\) に垂直となるので、
\(\ell\) は平面 \({\rm OAB}\) 上の \({\rm OA}\) に垂直となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}\perp\ell~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、仮定より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}\perp{\rm OB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm OA}\) は平面 \(\alpha\) 上の交わる \(2\) 直線 \(\ell~,~{\rm OB}\) に垂直となる
したがって、\({\rm OA}\perp\alpha\) となる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の図のような四面体 \({\rm ABCD}\) において、点 \({\rm A}\) から平面 \({\rm BCD}\) に下ろした垂線を \({\rm AO}\) とする。また、点 \({\rm O}\) から直線 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を \({\rm OE}\) とする。このとき、次のことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BC}\) は平面 \({\rm AEO}\) に垂直である。
\({\small (2)}~\)\({\rm AE}\perp{\rm BC}\)
\({\small (1)}~\)\({\rm BC}\) は平面 \({\rm AEO}\) に垂直である。
\({\small (2)}~\)\({\rm AE}\perp{\rm BC}\)
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.114 練習33
数研出版｜新編数学A[104-904] p.104 練習33
\({\small (1)}~\)[証明] \({\rm AO}\) は平面 \({\rm BCD}\) に垂直なので、平面 \({\rm BCD}\) 上の \({\rm BC}\) に垂直となるので、
\({\rm BC}\perp{\rm AO}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、仮定より、
\({\rm BC}\perp{\rm OE}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm BC}\) は交わる \(2\) 直線 \({\rm AO}~,~{\rm OE}\) に垂直となる
したがって、\({\rm BC}\) は平面 \({\rm AEO}\) に垂直となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \({\small (1)}\) より \({\rm BC}\) は平面 \({\rm AEO}\) に垂直なので、平面 \({\rm AEO}\) 上の \({\rm AE}\) に垂直となる
したがって、\({\rm AE}\perp{\rm BC}\) となる [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の図の正四角錐 \({\rm ABCDE}\) において、\({\rm BD}\) と \({\rm CE}\) の交点を \({\rm O}\) とする。このとき、\({\rm AO}\perp\)平面\({\rm BCDE}\) となることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.108 問4
[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) は \({\rm AB}={\rm AD}\) の二等辺三角形より、
\({\rm O}\) は対角線の交点で \({\rm BD}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AO}\perp{\rm BD}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
同様に、\(\triangle {\rm ACE}\) は \({\rm AC}={\rm AE}\) の二等辺三角形より、
\({\rm O}\) は \({\rm CE}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AO}\perp{\rm CE}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm AO}\) は平面 \({\rm BCDE}\) 上の交わる \(2\) 直線 \({\rm BD}~,~{\rm CE}\) に垂直である
したがって、\({\rm AO}\perp\)平面\({\rm BCDE}\) となる [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05四面体 \({\rm ABCD}\) の頂点 \({\rm A}\) から平面 \({\rm BCD}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\)、\({\rm A}\) から辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を \({\rm AP}\) とするとき、\({\rm HP}\perp{\rm BC}\) であることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.109 問6
[証明]
\({\rm AH}\) は平面 \({\rm BCD}\) に垂直なので、平面 \({\rm BCD}\) 上の \({\rm BC}\) に垂直となるので、
\({\rm BC}\perp{\rm AH}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、仮定より、
\({\rm BC}\perp{\rm AP}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm BC}\) は交わる \(2\) 直線 \({\rm AH}~,~{\rm AP}\) に垂直となるので、
\({\rm BC}\perp\)平面\({\rm AHP}\)
よって、\({\rm BC}\) は平面 \({\rm AHP}\) 上の \({\rm HP}\) に垂直となる
したがって、\({\rm HP}\perp{\rm BC}\) となる [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06四面体 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}\perp{\rm CD}~,~{\rm AC}\perp{\rm BD}\) であるとする。このとき、頂点 \({\rm A}\) から平面 \({\rm BCD}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\) とすると、\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm BCD}\) の垂心であることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.111 問7
[証明]
\({\rm AH}\) は平面 \({\rm BCD}\) に垂直なので、平面 \({\rm BCD}\) 上の \({\rm CD}\) に垂直となるので、
\({\rm CD}\perp{\rm AH}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、仮定より、
\({\rm CD}\perp{\rm AB}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm CD}\) は交わる \(2\) 直線 \({\rm AH}~,~{\rm AB}\) に垂直となるので、
\({\rm CD}\perp\)平面\({\rm ABH}\)
よって、\({\rm CD}\) は平面 \({\rm ABH}\) 上の \({\rm BH}\) に垂直となるので、
\({\rm BH}\perp{\rm CD}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
同様に、\({\rm BD}\perp{\rm AH}\) と仮定の \({\rm BD}\perp{\rm AC}\) より、\({\rm BD}\) は平面 \({\rm ACH}\) に垂直となるので、
\({\rm CH}\perp{\rm BD}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、点 \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm BCD}\) の頂点 \({\rm B}\) から対辺 \({\rm CD}\) への垂線と、頂点 \({\rm C}\) から対辺 \({\rm BD}\) への垂線の交点である
したがって、\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm BCD}\) の垂心である [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07次の図の正四角錐 \({\rm O}-{\rm ABCD}\) で、底面 \({\rm ABCD}\) の対角線の交点を \({\rm P}\) とする。このとき、\({\rm OP}\perp\)平面\({\rm ABCD}\) であることを示せ。
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.104 問3
[証明]
\(\triangle {\rm OAC}\) は \({\rm OA}={\rm OC}\) の二等辺三角形より、
\({\rm P}\) は対角線の交点で \({\rm AC}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}\perp{\rm AC}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
同様に、\(\triangle {\rm OBD}\) は \({\rm OB}={\rm OD}\) の二等辺三角形より、
\({\rm P}\) は \({\rm BD}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}\perp{\rm BD}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、\({\rm OP}\) は平面 \({\rm ABCD}\) 上の交わる \(2\) 直線 \({\rm AC}~,~{\rm BD}\) に垂直である
したがって、\({\rm OP}\perp\)平面\({\rm ABCD}\) となる [終]
