立方体内の正八面体

2026.07.02

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問題アーカイブ01
問題アーカイブ02
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問題アーカイブ01

問題アーカイブ01正四面体 \({\rm ABCD}\) の各辺の中点を、図のように、\({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}~,~{\rm T}~,~{\rm U}\) とする。この正四面体を

　平面 \({\rm PQR}\) 、平面 \({\rm RSU}\) 、

　平面 \({\rm PST}\) 、平面 \({\rm QTU}\)

で切る。新しくできた立体 \({\rm PQRSTU}\) が正八面体であることを示せ。

数研出版｜数学A[104-901] p.124 練習41
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.118 練習38
数研出版｜新編数学A[104-904] p.108 練習38

[証明] 正四面体 \({\rm ABCD}\) の \(4\) つの面はすべて正三角形である

例えば、正三角形 \({\rm ABC}\) の内部にある \(\triangle {\rm PQT}\) は、各辺が正三角形 \({\rm ABC}\) の辺の中点を結んだものなので、中点連結定理より正三角形となる

同様に考えると、

各面の内部にできる中点を結んだ三角形はすべて正三角形となるので、立体 \({\rm PQRSTU}\) の各辺の長さはすべて等しくなる

よって、\(\triangle {\rm PQR}\) などもすべての辺が等しいので正三角形となり、立体 \({\rm PQRSTU}\) の \(8\) つの面はすべて正三角形となる　\(\cdots {\small [\,1\,]}\)

また、立体 \({\rm PQRSTU}\) の \(6\) つの頂点に集まる面の数はそれぞれ \(4\) で等しい　\(\cdots {\small [\,2\,]}\)

\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、この立体は正八面体となる [終]

問題アーカイブ02

問題アーカイブ02\(1\) 辺の長さが \(2\) である右の図のような正八面体 \({\rm ABCDEF}\) を、直線 \({\rm AF}\) を軸にして \(1\) 回転させる。

　\({\small (1)}~\)この正八面体の内部が通過する部分の体積を求めよ。

　\({\small (2)}~\)この正八面体の面が通過する部分の体積を求めよ。

数研出版｜数学A[104-901] p.129 演習問題B 8

\({\small (1)}~\)軸 \({\rm AF}\) から最も遠い部分が通過してできる立体が求める体積となる

\({\rm AF}\) と面 \({\rm BCDE}\) の交点を \({\rm O}\) とすると、この立体は、半径 \({\rm OB}\) の円を底面とし、\({\rm A}\) を頂点とする円錐を \(2\) つ合わせた形となる

ここで、正方形 \({\rm BCDE}\) は \(1\) 辺の長さが \(2\) なので、その対角線の半分より、

　\({\rm OB}=\sqrt{\,2\,}\)

また、\(\triangle {\rm OAB}\) は直角二等辺三角形なので、

　\({\rm OA}=\sqrt{\,2\,}\)

よって、求める体積は、底面の半径 \(\sqrt{\,2\,}\) 、高さ \({\rm OA}=\sqrt{\,2\,}\) の円錐 \(2\) つ分より、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi{\, \small \times \,}(\sqrt{\,2\,})^2{\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}{\, \small \times \,}2&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)

したがって、求める体積は \(\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\pi\) となる

\({\small (2)}~\)軸 \({\rm AF}\) に最も近い部分が通過した面と、最も遠い部分が通過した面ではさまれる部分が求める体積となる

\({\small (1)}\) で定めた点 \({\rm O}\) から辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を \({\rm OM}\) とすると、求める立体は、\({\small (1)}\) で求めた立体から、半径 \({\rm OM}\) の円を底面とし、高さ \({\rm OA}\) の円錐を \(2\) つ合わせた立体を除いた形となる

ここで、\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点であり、正方形 \({\rm BCDE}\) の \(1\) 辺の半分より、

　\({\rm OM}=1\)

よって、求める体積は、\({\small (1)}\) の立体から、底面の半径 \(1\) 、高さ \(\sqrt{\,2\,}\) の円錐 \(2\) つ分を除いたものより、

\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi{\, \small \times \,}1^2{\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)

したがって、求める体積は \(\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\pi\) となる

問題アーカイブ03

問題アーカイブ03立方体 \({\rm ABCD}-{\rm EFGH}\) の各面の対角線の交点を右の図のように \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}~,~{\rm T}~,~{\rm U}\) とする。この \(6\) つの点を結んでできる八面体 \({\rm PRSTUQ}\) は正八面体であることを証明せよ。

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.111 問8

[証明]